38. Сила и энергия гармонических колебаний.

Ускорение при гармонических колебаниях пропорционально смещению с противоположным знаком. Умножим правую и левую части уравнения на массу колеблющей материальной точки т, получим соотношения:

Согласно второму закону Ньютона, физический смысл правой части выражения есть проекция силы F_x, которая обеспечивает гармоническое механическое движение:

Величина F_x пропорциональна смещению х и направлена противоположно ему. Примером такой силы является сила упругости, величина которой пропорциональна деформации и противоположно ей направлена (закон Гука).

Закономерность зависимости ускорения от смещения, рассмотренную нами для механических гармонических колебаний, можно обобщить и применить при рассмотрении колебаний другой физической природы (например, изменение тока в колебательном контуре, изменение заряда, напряжения, индукции магнитного поля и т. д.). Поэтому уравнение называют основным уравнением динамики гармонических колебаний.

Энергия гармонических колебаний

Квазиупругая сила является консервативной и поэтому энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В моменты наибольшего отклонения от положения равновесия кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная максимальна.

И наоборот в моменты прохождения положения равновесия потенциальная энергия минимальна (равна нулю), а кинетическая энергия максимальна:

Здесь косинус равен единице, так как скорость максимальна и равна амплитуде. Так как k=mω₀² , то эти два выражения равны друг другу.

Однако, интересно установить как меняется энергия от времени. Подставим в выражения для энергий соответствующие формулы для смещения и скорости.

Если сложить эти два выражения, то получим полную энергию колебаний в данный момент времени:

То есть мы ещё раз убедились, что ПОЛНАЯ энергия колебаний величина постоянная и не меняется от времени, если отсутствуют диссипативные силы.

Воспользовавшись формулами тригонометрии можно перейти от квадратов синуса и косинуса к двойным углам:

Отсюда хорошо видно, что энергия изменяется

с частотой 2ω₀ около значения

,

что и отражено на графике.

40. Сложение гармонических колебаний одного направления.

Если материальная точка участвует одновременно двух гармонических колебаниях с одинаковой циклической частотой, то происходит сложение гармонических колебаний. Рассмотрим несколько наиболее простых случаев сложения гармонических колебаний.

Сложений двух колебаний одного направления. 1. Круговые частоты и фазы колебаний одинаковы, амплитуды различны: x₁=A₁ sin , x₂=A₂ sin тогда x₁+x₂=(A₁+A₂) sin = A sin

2. Круговые частоты и амплитуды одинаковы, фазы различны: x₁=A sin , x₂=A sin ),

где - разность фаз. Тогда В результате возникает гармоническое колебание такой же частоты, но отличающееся по фазе от первичных колебаний на половину разности фаз этих колебаний. Амплитуда , меньше суммы амплитуд первичных колебаний.

3. Амплитуды одинаковы, круговые частоты мало отличаются друг от друга: : x₁=A sin , x₂=A sin , тогда, Результирующее колебание оказывается не гармоническим так как оно не соответствует уравнению

x=A sin