12. Основное уравнения вращательного движения твердого тела.
Твердое тело — это система материальных точек, расстояние между которыми остается неизменным при взаимодействии системы с другими телами. Движение твердого тела бывает поступательным и вращательным. Всякое движение твердого тела можно представить как сумму движения названных двух типов. Покажем это для случая плоского движения, т. е. такого, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. В качестве примера плоского движения возьмем качение цилиндра по плоскости .
Скорость каждой точки цилиндра может быть представлена в виде:
где v0 — скорость поступательного движения, одинаковая для всех точек тела, а v' линейная скорость точки, обусловленная вращением тела и разная для разных точек тела. Линейная скорость точки с радиусом-вектором r:
.
Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться относительно некоторой оси (рис.). Момент импульса i-й точки тела относительно этой оси определяется формулой:
.
Выражая линейную скорость точки через угловую скорость тела и используя свойства векторного произведения, получим
Спроектируем момент импульса на ось вращения: — эта проекция определяет момент относительно этой оси. Получим
.
где zi,- координата i—точки вдоль оси Z, a Ri, — расстояние точки от оси вращения. Суммируя по всем частицам тела, получим момент импульса всего тела относительно оси вращения:
.
Величина
является моментом инерции тела относительно оси вращения. Момент импульса тела относительно данной оси вращения принимает, таким образом, вид:
Mz = J·ω.
Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения.
13. Момент импульса. Момент силы
Мы видели, что механические свойства замкнутой системы не изменяются при ее параллельном переносе в пространстве. Это свойство является следствием однородности пространства, то есть отсутствием каких-либо выделенных точек пространства, физические свойства системы не должны изменяться также и при ее поворотах в пространстве, ввиду отсутствия в пространстве выделенных направлений, что означает изотропность пространства. Оказывается, что неизменность физических свойств системы при ее поворотах в пространстве также приводит к сохранению некоторой новой механической величины — момента импульса системы.
Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, на которую действуют также внешние силы. Уравнения движения частиц имеют вид:
Умножим первое уравнение векторно слева на r1, а второе на r2.
Поскольку
,
т.к.
и F12
= ‑
F21,
Получим
.
Сложим полученные уравнения:
.
Векторы r1 - r2 и F12 коллениарны, поэтому
. .
Если
система замкнута
.
Еще одна сохраняющаяся величина, которую
называют моментом импульса.
П
римеры:
Момент
импульса материальной точки, движущейся
по прямой, относительно оси О:
Момент импульса точки, движущейся по окружности M = mvr
М
оментом
силы называют 
Момент силы. относительно точки О :
N
=
r·F·sinα
=
F·
;
N
=
R·F·sinα.
Пара сил.
Продифференцируем
по времени:
