- •Содержание
- •Введение
- •Тема 1. Элементы теории множеств
- •1.1. Понятие множества, способы задания множеств
- •Множества
- •1) Перечисление элементов.
- •2) Указание характеристического свойства.
- •1.2. Примеры решения задач
- •Тема 2. Элементы линейной алгебры
- •2.1. Понятие матрицы, операции над матрицами
- •2.2. Примеры решения задач
- •Тема 3. Элементы векторной алгебры
- •3.1. Векторы на плоскости
- •3.2. Примеры решения задач
- •Тема 4. Дифференциальное исчисление
- •4.1. Понятие производной функции
- •4.2. Примеры решения задач
- •Тема 5. Интегральное исчисление
- •5.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •5.2. Примеры решения задач
- •Тема 6. Элементы теории вероятностЕй
- •6.1. Понятие вероятности случайного события
- •6.2. Примеры решения задач
- •Тема 7. Элементы математической статистики
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Примеры решения задач
- •Контрольные задания
- •Денотатный граф
- •Блок-схема по методу Штейнберга
- •Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
6.2. Примеры решения задач
Задача 1. В двух коробках лежат карандаши. В первой коробке – 4 синих и 3 красных карандаша. Во второй коробке – 2 синих, 2 красных. Одновременно из двух коробок извлекают по одному карандашу. Найти вероятность того, что оба карандаша окажутся красными.
Решение: Пусть А- событие, что вынут красный карандаш из первой коробки. По классическому определению вероятности P(A)=, где m=3, так как благоприятных исхода 3- в первой коробке 3 красных карандаша, а всего карандашей 7, значит n=7. Пусть В – событие, что вынут красный карандаш из второй коробки. Аналогично, P(В)=. Тогда по теореме произведения вероятностей, так как события происходят одновременно P(A•B) = P(A) • P(B)= = .
Тема 7. Элементы математической статистики
7.1. Основные понятия
Математическая статистика – это раздел современной теории вероятностей, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования данных, полученных в результате экспериментов, для научных и практических выводов.
Определение 1. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка.
Определение 2. Выборкой называется совокупность случайно отобранных объектов.
Определение 3. Объемом выборки называется число объектов, заключенных в данной выборке, .
Определение 4. Вариационным рядом выборки называется способ ее записи, при которой элементы упорядочиваются по величине, т.е. записываются в виде последовательности, где первый элемент – наименьший, а последующий за ним больше предыдущего.
Определение 5. Если выборка содержит одинаковые элементы и элемент встречается в ней раз, то число называется частотой элемента .
Определение 6. Статистическим рядом (статистическим распределением выборки) называется перечень всех различных элементов выборки и соответствующих им частот:
… |
||||
… |
Определение 7. Законом распределения выборки называется перечень всех различных элементов выборки и соответствующих им вероятностей:
|
… |
|||
… |
- объем выборки, - количество одинаковых элементов .
Определение 8. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее значений на вероятности этих значений.
Обозначается: .
Определение 9. Выборочной средней вариационного ряда называется среднее арифметическое значение выборочной совокупности.
Обозначается: .
7.2. Примеры решения задач
Задача. В результате десяти опытов получена следующая выборка: 2,2,3,4,2,4, 6,6,6,6. Найти объем выборки, вариационный ряд выборки, статистический ряд выборки, закон распределения выборки, математическое ожидание и выборочную среднюю вариационного ряда.
Решение: Объем выборки равен 10, так как 10 элементов. Упорядочим элементы и получим вариационный ряд выборки: 2,2,2,3,4,4,6,6,6,6.
Статистический ряд выборки:
2 |
3 |
4 |
6 |
|
3 |
1 |
2 |
4 |
Закон распределения выборки:
2 |
3 |
4 |
6 |
|
Математическое ожидание: .
Выборочная средняя вариационного ряда: