- •Содержание
- •Введение
- •Тема 1. Элементы теории множеств
- •1.1. Понятие множества, способы задания множеств
- •Множества
- •1) Перечисление элементов.
- •2) Указание характеристического свойства.
- •1.2. Примеры решения задач
- •Тема 2. Элементы линейной алгебры
- •2.1. Понятие матрицы, операции над матрицами
- •2.2. Примеры решения задач
- •Тема 3. Элементы векторной алгебры
- •3.1. Векторы на плоскости
- •3.2. Примеры решения задач
- •Тема 4. Дифференциальное исчисление
- •4.1. Понятие производной функции
- •4.2. Примеры решения задач
- •Тема 5. Интегральное исчисление
- •5.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •5.2. Примеры решения задач
- •Тема 6. Элементы теории вероятностЕй
- •6.1. Понятие вероятности случайного события
- •6.2. Примеры решения задач
- •Тема 7. Элементы математической статистики
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Примеры решения задач
- •Контрольные задания
- •Денотатный граф
- •Блок-схема по методу Штейнберга
- •Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Тема 2. Элементы линейной алгебры
2.1. Понятие матрицы, операции над матрицами
Определение1: Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Обозначается .
Операции над матрицами
Определение2: Произведением матрицы А на число λ называется матрица В= λА, элементы которой для .
Обозначается
Определение3: Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С=А+В, элементы которой для , т.е. матрицы складываются поэлементно.
Обозначается
Примечание: Разность двух матриц определяется через предыдущие операции: умножение и сложение матриц: , т.е. матрицы вычитаются поэлементно.
Обозначается
Определение 4: Произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В.
Примечание: Операция умножения матрицы А на матрицу В определена, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
Пример: Вычислить произведение матриц АВ, где
А=(1 2 3),
Найдем размер матрицы-произведения (умножение матриц возможно, так число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В):
.
2.2. Примеры решения задач
Задача 7.1 . В некоторой отрасли m заводов выпускают n видов продукции. Матрица задает объемы продукции на каждом заводе в первом квартале, матрица - во втором.
; .
Найти: а) объемы продукции; б) прирост объемов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам;
в) стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах), если λ –курс доллара по отношению к рублю.
Решение: а) Объемы продукции за полугодие определяются суммой матриц А и В, как суммой квартальных объемов продукции т.е.
.
б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц
Отрицательные элементы матрицы D показывают, что на данном заводе i объем производства j –го продукта уменьшился, положительные элементы матрицы D – увеличился, нулевые элементы матрицы – не изменился.
в) Произведение дает выражение стоимости объемов производства за квартал в долларах по каждому заводу и каждому предприятию. Таким образом, стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах): .
Задача 7.2. Предприятие производит n типов продукции, объемы выпуска заданы матрицей . Цена реализации единицы i-го типа продукции в j-м регионе задана матрицей , где k- число регионов, в которых реализуется продукция. Найти матрицу выручки С по регионам. Пусть , .
Решение: Выручка определяется матрицей , причем элемент матрицы С – выручка предприятия в j-том регионе (смотри пример произведения матриц выше):
Тема 3. Элементы векторной алгебры
3.1. Векторы на плоскости
Определение1: Вектором называется направленный отрезок.
Обозначается латинскими буквами со стрелкой наверху: .
Вектор, заданный парой (А, В) несовпадающих точек, обозначается символом . Точка А называется началом, а точка В – концом вектора.
Определение2: Длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом.
Обозначается . Вектор , концы которого совпадают, называется нулевым вектором.
Пусть А , В Длина вектора находится по формуле .
Определение3: Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначается символом . Таким образом, по определению,
.