- •Содержание
- •Введение
- •Тема 1. Элементы теории множеств
- •1.1. Понятие множества, способы задания множеств
- •Множества
- •1) Перечисление элементов.
- •2) Указание характеристического свойства.
- •1.2. Примеры решения задач
- •Тема 2. Элементы линейной алгебры
- •2.1. Понятие матрицы, операции над матрицами
- •2.2. Примеры решения задач
- •Тема 3. Элементы векторной алгебры
- •3.1. Векторы на плоскости
- •3.2. Примеры решения задач
- •Тема 4. Дифференциальное исчисление
- •4.1. Понятие производной функции
- •4.2. Примеры решения задач
- •Тема 5. Интегральное исчисление
- •5.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •5.2. Примеры решения задач
- •Тема 6. Элементы теории вероятностЕй
- •6.1. Понятие вероятности случайного события
- •6.2. Примеры решения задач
- •Тема 7. Элементы математической статистики
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Примеры решения задач
- •Контрольные задания
- •Денотатный граф
- •Блок-схема по методу Штейнберга
- •Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
3.2. Примеры решения задач
Задача 1. Найти длины и скалярное произведение векторов , , если известно , , , , угол между векторами .
Решение: . Тогда .
Аналогично .
Длина вектора
Аналогично .
Скалярное произведение векторов:
(). Ответ:
Тема 4. Дифференциальное исчисление
4.1. Понятие производной функции
Определение1: Производной функции f(x) в точке х0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции ∆ f в этой точке к приращению аргумента ∆х, когда последнее стремится к нулю:
Обозначается или
Нахождение производной функции называется дифференцированием.
Определение2: Дифференциалом функции f(x) называется произведение производной этой функции на произвольное приращение аргумента.
Обозначается или , где .
Основные правила дифференцирования
1. Производная постоянной
Символьная формулировка:
Словесная формулировка: производная постоянной равна нулю.
2. Производная алгебраической суммы функций
Символьная формулировка:
Словесная формулировка: производная алгебраической суммы функций равна сумме производных этих функций.
3. Производная произведения двух функций
Символьная формулировка
Словесная формулировка: производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго.
4. Производная произведения постоянной на функцию:
Символьная формулировка
Словесная формулировка: Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
5. Производная частного двух функций:
Символьная формулировка:
6. Производная сложной функции:
Пусть y есть функция от u: а переменная u, в свою очередь, есть функция от аргумента х: т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент u, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции):
Символьная формулировка:
Словесная формулировка: Производная сложной функции равна производной данной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х:
Таблица производных элементарных функций
Функция у |
Производная |
С |
0 |
х |
1 |
для сложной функции: |
где n – любое действительное число |
для сложной функции: |
|
для сложной функции: |
|
для сложной функции: |
|
для сложной функции: |
|
для сложной функции: |
|
Функция у |
Производная |
для сложной функции: |
|
для сложной функции: |
|
для сложной функции: |
|
для сложной функции: |
4.2. Примеры решения задач
Задача 1.
Объем продукции u (ед), произведённый бригадой рабочих, может быть описан уравнением (ед), , где -рабочее время, часы. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.
Решение. Производительность труда выражается производной . Используя правило нахождения производной суммы функций – , получим
. Используя правила нахождения производной произведения постоянной на функцию: , производной степенной функции , производной константы:имеем:
(ед/ч)
Скорость изменения производительности – производная . Темп изменения производительности – логарифмическая производная (используем правило вычисления производной сложной функции, где )- сложная функция).
Найдем : (см. выше правила нахождения производной функции).
(ед/ч).
В заданные моменты времени и соответственно имеем:
(ед/ч), (ед/ч),
, ,
(ед/ч), (ед/ч).
Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается, при этом изменение знака и с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется ее снижением в последние часы.
Задача 2. Найти дифференциал функции
Решение. По определению
(использовали правило нахождения сложной функции см. таблицу =).