- •Содержание
- •Введение
- •Тема 1. Элементы теории множеств
- •1.1. Понятие множества, способы задания множеств
- •Множества
- •1) Перечисление элементов.
- •2) Указание характеристического свойства.
- •1.2. Примеры решения задач
- •Тема 2. Элементы линейной алгебры
- •2.1. Понятие матрицы, операции над матрицами
- •2.2. Примеры решения задач
- •Тема 3. Элементы векторной алгебры
- •3.1. Векторы на плоскости
- •3.2. Примеры решения задач
- •Тема 4. Дифференциальное исчисление
- •4.1. Понятие производной функции
- •4.2. Примеры решения задач
- •Тема 5. Интегральное исчисление
- •5.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •5.2. Примеры решения задач
- •Тема 6. Элементы теории вероятностЕй
- •6.1. Понятие вероятности случайного события
- •6.2. Примеры решения задач
- •Тема 7. Элементы математической статистики
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Примеры решения задач
- •Контрольные задания
- •Денотатный граф
- •Блок-схема по методу Штейнберга
- •Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Тема 5. Интегральное исчисление
5.1. Первообразная и неопределенный интеграл
Определение: Первообразной функцией для данной функции f(x) называется функция F(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F'(x)= f(x).
Определение: Неопределенным интегралом от функции f (x) называется множество {F(x) + C} всех первообразных функций для данной функции f(x), где C принимает все возможные числовые значения,
Обозначается
Обратимость операций дифференцирования и интегрирования
Проверка |
||
1. (kx)=k |
=k |
|
2. (x)=nx |
==
|
|
3.= |
(ln|x|+c)== |
|
4.()= |
(e)=+0= |
|
5.=cos x |
=sin x+0=sin x |
|
6.=-sin x |
(sin x+c) =cos x+0=cos x |
|
7.Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. |
+0= |
|
8. |
+0= |
|
9. |
+0= |
5.2. Примеры решения задач
Задача 1. Найти интеграл
Решение. При нахождении интегралов, подынтегральные функции которых содержат степенные функции, необходимо помнить, что (по определению)
и знать следующие правила действия со степенями и корнями:
Здесь m и n – любые рациональные числа.
Преобразуем подынтегральную функцию : воспользуемся формулой сокращенного умножения и последующим почленным делением числителя на знаменатель.
Далее используем свойства неопределенного интеграла:
, и
табличные интегралы: ,,. Имеем:
.
Обращаем внимание на то, что в конце решения записываем одну общую постоянную С, не выписывая постоянных от интегрирования отдельных слагаемых.
Задача 2. Найти интеграл
Решение: Используем метод замены: пусть . Тогда . По правилам нахождения дифференциала и производной (см. тему 3) . Заменим переменные в интеграле:
(использовали правило интегрирования-вынесения постоянной за знак интеграла и табличный интеграл 6)
Тема 6. Элементы теории вероятностЕй
6.1. Понятие вероятности случайного события
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений и событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий.
Испытание – неопределяемое понятие, понимается как наблюдение того или иного явления. Событие – возможный исход того или иного испытания.
Определение1: Результат наблюдения или эксперимента, который при данном испытании может произойти, а может и не произойти, называется случайным событием.
Определение2: Событие, которое обязательно наступает при каждом испытании, называется достоверным.
Определение3: Событие, которое заведомо не может произойти, называется невозможным.
Определение4: Два события называются равносильными, если при каждом испытании они либо оба наступают, либо оба не наступают.
Определение5: События, которые не могут произойти одновременно в результате испытания, называются несовместными.
Определение6: Под множеством элементарных событий задачи понимают полное множество взаимоисключающих исходов эксперимента.
Пример: 1) Пусть эксперимент состоит в подбрасывании монеты. Два элементарных события: «выпадание орла» и «выпадание решки».
2) Пусть эксперимент состоит в подбрасывании кости. Шесть элементарных событий: выпадание единицы на верхней грани кости, выпадание двойки, тройки и т.д…
Определение7 (классическое определение вероятности): Вероятностью события называется число, равное отношению числа исходов испытания, благоприятствующих событию (m) к числу всевозможных исходов испытания (n). Обозначается: P(A)=, P – вероятность случайного события, A – само событие.
Пример: 1) Пусть эксперимент состоит в подбрасывании монеты. Два элементарных события: «выпадание орла» и «выпадание решки», значит n=2. Тогда вероятность события-«выпадание орла» равна P(A)=, где m=1.
2) Пусть эксперимент состоит в подбрасывании кости. Шесть элементарных событий: выпадание единицы на верхней грани кости, и т.д… Вероятность события «выпадание шести очков на грани кости» равна P(A)=, где m=1.
Определение 8. Событие (А и B), т. е. событие, состоящее в наступлении обоих событий А и B, называется произведением событий А и B и обозначается через
АB
Определение 9. Событие (А или B), т. е. событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и B, называется суммой событий А и B и обозначается через
А + B
Теорема сложения вероятностей (для попарно несовместимых событий): вероятность того, что произойдет хотя бы одно из попарно несовместимых событий, равна сумме вероятностей этих событий P(A+B+ C) = P(A) + P(B) + P(C).
Теорема произведения вероятностей (для попарно независимых событий): вероятность того, что произойдут одновременно независимые события, равна произведению вероятностей P(A•B) = P(A) • P(B).