1.8. Магнітне поле соленоїда і тороїда

Закон повного струму (1.22) має для розрахунку магнітних полів постійного струму таке саме важливе значення, як і теорема Гаусса для розрахунку електростатичних полів.

Соленоїд і тороїд досить часто застосовуються для створення магнітного поля з метою різних досліджень. Як приклад розглянемо застосування закону повного струму для розрахунків магнітних полів соленоїда і тороїда.

Соленоїд представляє собою провідник, намотаний щільно виток до витка на циліндричний каркас. Він може бути як з осереддям, так і без осереддя. Якщо діаметр витків соленоїда набагато менший його довжини, соленоїд вважають нескінченно довгим. Щодо створюваного ним поля соленоїд еквівалентний системі однакових колових струмів з загальною прямою віссю. Нескінченно довгий соленоїд є симетричним відносно будь-якої перпендикулярної до його осі площини. Взяті попарно симетричні відносно такої площини витки створюють поле, магнітна індукція якого перпендикулярна до площини (див.рис.1.8). Отже, в будь-якій точці всередині соленоїда вектор спрямований вподовж його осі.

Візьмемо прямокутний контур 1-2-3-4-1. Циркуляцію вектора по цьому контуру можна представити таким чином

.

Із чотирьох інтегралів правої час-

Рис. 1.14 тини другий і четвертий дорівнюють нулю, оскільки вектор перпендикулярний до ділянок контуру, по яких беруться ці інтеграли. Взявши ділянку 3-4 на великій відстані від соленоїда (де поле є дуже слабким), третім доданком можна знехтувати. Отже, можна прийняти, що , де - магнітна індукція поля в тих точках, де знаходиться відрізок 1-2 довжиною . Тому, згідно з (1.22) , звідки

, (1.26)

де - число витків, що охоплюються ділянкою , - число витків на одиницю довжини соленоїда.

Як свідчать досліди, отриманий тут результат не залежить від того, на якій відстані від осі в межах соленоїда знаходиться відрізок 1-2 , отже, магнітне поле всередині нескінченно довгого соленоїда є однорідним.

Оскільки внесок у магнітну індукцію на осі соленоїда симетрично розташованих витків однаковий (див.формулу (1.15)), то біля кінця напівнескінченного соленоїда на його осі магнітна індукція дорівнює половині значення (1.26): .

Тороїд представляє собою кінцеву котушку, витки якої намотані на осереддя, що має форму тора. Він є еквівалентним системі однакових колових струмів, центри яких розташовані по колу радіуса тороїда (рис. 1.15). У якості замкненого контуру візьмемо коло радіуса , центр якого співпадає з центром тороїда. З умови симетрії випливає, що силові лінії магнітного поля тороїда (лінії вектора ) в кожній точці повинні бути спрямовані

Рис. 1.15 по дотичній до кола. Отже, , де - магнітна індукція в тих точках, де проходить контур. Якщо контур проходить всередині тороїда („нанизує ” його витки), то охоплений контуром струм , де - кількість витків тороїда, - їх кількість на одиницю довжини тороїда, - сила струму у витках тороїда. Отже, згідно з законом повного струму (1.22) знаходимо , звідки

. (1.27)

На осі тороїда () , що за величиною співпадає з (1.26).

Якщо контур проходить за межами тороїда (не „нанизує ” витки), то він не охоплює струм, і . Таким чином, за межами такого тороїда індукція повинна б дорівнювати нулю.

У реального тороїда є складова струму вздовж його осі. Ця складова створює додаткове до поля (1.27) поле, аналогічне полю колового струму.

Для тороїда, радіус якого набагато більший радіуса витка, відношення для всіх точок всередині тороїда мало відрізняється від одиниці і замість формули (1.27) отримуємо формулу, що співпадає з формулою (1.26) для нескінченно довгого соленоїда. У такому випадку поле можна вважати однорідним у кожному перерізі тороїда.