1.2. Закон Біо-Савара-Лапласа

Після дослідів Г. Ерстеда почали інтенсивно вивчати магнітне поле постійного електричного струму. В 1820 р. французькі вчені Ж. Біо і Ф. Савар дослідили магнітні поля, створені в повітрі прямолінійним струмом, коловим струмом, котушкою зі струмом і т. п. На основі чисельних дослідів вони прийшли до висновку, що індукція магнітного поля електричного струму в довільно вибраній точці пропорційна силі струму в провіднику, залежить від форми і розмірів провідника і від розташування цієї точки відносно провідника із струмом. Вони намагалися знайти загальний закон, який давав би змогу обчислити магнітну індукцію в кожній точці поля, створюваного електричним струмом, що протікає по провіднику будь-якої форми. Однак зробити це їм не вдалося. На їх прохання розв’язав це завдання видатний французький математик, астроном і фізик П. Лаплас. Він врахував векторний характер магнітної індукції і висловив важливу гіпотезу про те, що індукція у кожній точці магнітного поля будь-якого провідника з струмом є векторна сума індукцій елементарних магнітних полів, створених кожною ділянкою цього провідника. Тим самим Лаплас припустив, що при накладанні магнітних полів справджується принцип суперпозиції, тобто принцип незалежності дії полів, який уже відомий з електростатики.

Лаплас узагальнив результати експериментів Біо і Савара у вигляді такого диференціального закону, який називають законом Біо-Савара-Лапласа,

, (1.5)

де - вектор, що чисельно дорівнює довжині елемента провідника і збігається за напрямком з електричним струмом; - радіус-вектор, проведений з елемента провідника до розглядуваної точки поля; - модуль радіуса-вектора , а - коефіцієнт пропорційності, величина якого визначається за допомогою дослідів і залежить від системи одиниць. У Міжнародній системі одиниць СІ прийнято, що . Тому у системі СІ

Рис. 1.4 . (1.6)

Такий вигляд запису закону Біо-Савара-Лапласа і всіх рівнянь електромагнітного поля, які випливають з нього, називають раціоналізованим. У подальшому викладі приймається саме такий вигляд.

Із закону Біо-Савара-Лапласа випливає, що вектор магнітної індукції у будь-якій точці магнітного поля напрямлений перпендикулярно до площини, в якій лежать вектори і , у відповідності з правилом векторного добутку.

Чисельне значення вектора визначається скалярною формою закону Біо-Савара-Лапласа

, (1.7)

де - кут між векторами та , рис.1.4).

Закон Біо-Савара-Лапласа дає змогу знайти індукцію магнітного поля електричного струму, що протікає по провіднику скінчених розмірів і будь-якої форми. Відповідно до принципу суперпозиції магнітна індукція у будь-якій точці магнітного поля провідника зі струмом дорівнює векторній сумі індукцій елементарних магнітних полів, створених усіма окремими ділянками цього провідника

, (1.8)

де - загальна кількість ділянок, на які поділено провідник. Необмежено збільшуючи кількість ділянок , на підставі рівнянь (1.7) та (1.8) отримуємо

. (1.9)