3.2.6. Выводы

1. Из рисунка 14 видно, что перемещения (3.7) вызваны сжатием стержня продольными внешними нагрузками, равномерно распределенными по торцам.

2. Перемещения (3.7) обращаются в ноль при Следовательно, стержень закреплен от перемещений как абсолютно твердого тела только в точке пересечения левого торца с осью стержня.

4. Задача 4 «Плоская задача теории упругости. Функция напряжений»

При проектировании сооружений возникает большой класс задач, в которых одну из трех прямоугольных координат можно отбросить, и решение задач рассматривать как бы в одной плоскости. Этот класс задач носит название плоской задачи теории упругости. Под плоской задачей теории упругости понимают две различные задачи:

1. Задачу о плоском деформированном состоянии (или о плоской деформации).

2. Задачу о плоском напряженном состоянии.

Обе задачи различны по постановке. Однако если в качестве основных неизвестных выбрать напряжения, то математический аппарат решения обеих задач одинаков. Характерно для этих задач следующее:

1. Число неизвестных равно 3.

2. Все неизвестные являются функциями не трех, а двух координат.

4.1. Плоская деформация

Если при нагружении тела перемещения всех точек в результате деформации происходят только в двух направлениях, т. е. в одной плоскости, то такую деформацию называют плоской.

Рассмотрим стержень постоянного поперечного сечения, длина которого в направлении, например, вдоль оси z велика по сравнению с размерами вдоль осей . Предположим, что стержень помещен между гладкими и абсолютно жесткими плоскостями, и перемещения на торцах вдоль оси отсутствуют (рис. 15). Эффект удаления этих плоскостей буде рассмотрен ниже. Объемные и поверхностные нагрузки перпендикулярны продольной оси и не меняется по длине стержня:

(4.1)

(4.2)

Тогда в силу симметрии нет перемещений в среднем сечении. То же самое справедливо для любого сечения. Деформации и перемещения могут происходить только в двух направлениях, т. е. только в плоскости возникает деформация, при которой имеет место

(4.3)

Рис. 15

Рис. 16

уществует много важных прикладных задач такого рода, например, для плотины под действием напора воды (рис. 16), тоннеля или подземного трубопровода, цилиндрического ролика сжимаемого силами в диаметральной плоскости. При этом нагрузка не должна изменяться вдоль длины тела.

Рассмотрим основные уравнения теории упругости с учетом соотношений (4.1)–(4.3).

Геометрические уравнения Коши

Из уравнений Коши (3.2) видно, что в произвольной точке стержня три компоненты деформации не равны нулю

(4.4)

а остальные три компоненты равны нулю

(4.5)

Вследствие того, что компоненты перемещений (4.3) не зависят от переменной z, то компоненты деформаций (4.4) и напряжений будут также функциями только двух переменных .