4.4.3. Решение задачи методами сопротивления материалов

Рассмотрим решение задачи об изгибе балки равномерно распределенной нагрузкой элементарными методами сопротивления материалов (рис. 21).

Из курса сопротивления материалов известно, что

(4.44)

Рис. 22

Методами сопротивления материалов найдем внутренние усилия в поперечном сечении балки, показанной на рисунке 22:

изгибающий момент

поперечная сила

статический момент отсеченной части сечения

Следовательно, для напряжений (4.44) получим следующие окончательные формулы:

(4.45)

4.4.4. Анализ полученных решений

Сравнивая выражения для напряжений , полученные методами теории упругости и сопротивления материалов, можно сделать следующие выводы:

1

Рис. 23

. Касательные напряжения , определяемые методами сопротивления материалов и теории упругости, полностью совпадают. Распределение этих напряжений по высоте поперечного сечения, показано на рис. 23.

2. Выражение для напряжения , полученное методами теории упругости, состоит из двух слагаемых:

первое слагаемое (основное слагаемое)

совпадает с напряжением , полученным элементарной теорией изгиба (см. рис.23);

второе слагаемое (дополнительное)

(4.46)

представляет поправку, которая не зависит от координаты (рис. 24). Эта поправка отсутствует в элементарной теории изгиба, которая предполагает отсутствие надавливания волокон друг на друга. Между тем, из решения теории упругости (4.43) видно, что между этими волокнами действуют сжимающие напряжения . Распределение сжимающих напряжений по высоте полосы, показанное на рисунке 24, не зависит от продольной координаты .

Оценим влияние на , которое возникает при

(4.47)

где

Рис. 24

Из таблицы, приведенной ниже видно, что влияние при

становится меньше 3% и им можно пренебречь.

Таблица 4.1

	1,0027	1,017	1,030	1,067

Таким образом, при расчете балок, длина которых меньше трех высот , решение (4.43) для нормальных напряжений использовать нельзя.

3. Полученное решение (4.43) является точным, если по торцам приложены касательные нагрузки, изменяющиеся по параболическому закону, а также взаимно уравновешенные нагрузки, параллельные оси . Эти нагрузки по способу приложения отличаются от нагрузок, действующих на рассматриваемую балку. Поэтому это решение на основании принципа Сен-Венана пригодно для описания напряженного состояния только в точках, достаточно удаленных от торцов.

4. Найдем влияние на напряжения взаимно уравновешенных нагрузок, действующих вдоль оси , на расстоянии от торца и при длине балки, равной .

Из выражения (4.43) в точке при найдем;

основное слагаемое

дополнительное слагаемое или поправка

Поправка для напряжений за счет учета взаимно уравновешенных сил на торце составляет всего

Поэтому влиянием на нормальные напряжения в полосе длиной взаимно уравновешенных сил, приложенных на торце, уже на расстоянии, равном , можно пренебречь.