- •1.1.1. Полное, нормальное и касательные напряжения на наклонной площадке
- •1.1.2. Вычисление проекции касательного напряжения на заданное направление
- •1.1.3. Главные напряжения, определение положения главных площадок
- •1.2. Деформированное состояние в точке тела
- •1.2.1. Определение линейной, угловой и объёмной деформаций
- •2. Задача 2 “Постановка кинематических и статических граничных условий”
- •3. Задача 3 "Обратный метод решения задач в теории упругости. Определение нагрузок, приложенных к телу"
- •3.1. Основные уравнения теории упругости
- •3.2. Пример решения задачи
- •3.2.1. Постановка задачи
- •3.2.2. Определение компонентов деформаций
- •3.2.3. Определение компонент напряжений
- •3.2.4. Определение объемных нагрузок
- •3.2.5. Определение поверхностных нагрузок
- •3.2.6. Выводы
- •4. Задача 4 «Плоская задача теории упругости. Функция напряжений»
- •4.1. Плоская деформация
- •Геометрические уравнения Коши
- •Физические уравнения – закон Гука
- •Отметим, что Статические уравнения Навье
- •4.2. Плоское напряженное состояние
- •4.3. Функция напряжений
- •4.4. Изгиб прямоугольной полосы под действием поверхностной нагрузки
- •4.4.1. Постановка задачи
- •4.4.2. Решение задачи
- •4.4.3. Решение задачи методами сопротивления материалов
- •4.4.4. Анализ полученных решений
- •4.5. Изгиб прямоугольной полосы под действием собственного веса
- •4.5.1. Постановка задачи
- •4.5.2. Решение задачи
- •4.5.3 Решение задачи методами сопротивления материалов
- •4.5.4. Анализ полученных решений
1.1.3. Главные напряжения, определение положения главных площадок
Одной из важнейших задач инженерных расчётов является оценка прочности материалов в наиболее напряжённых точках конструкций. Для решения этой задачи применяют теории прочности, в которых используются главные напряжения.
В окрестностях любой точки нагруженного тела всегда имеются три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения обращаются в ноль, а соответствующие полные напряжения перпендикулярны этим площадкам. Такие площадки называются главными, нормали к ним – главными осями, а нормальные напряжения – главными напряжениями (рис. 5). Главные напряжения обозначим в порядке убывания .
П
Рис. 5
(1.12)
где
(1.13)
– инварианты напряженного состояния, которые не меняются при повороте координатных осей.
Используя заданные напряжения (1.1), вычислим инварианты (1.13):
(1.14)
Подставим значения инвариантов в кубическое уравнение(1.12) и получим:
(1.15)
Чтобы уменьшить величины коэффициентов в уравнении (1.15), воспользуемся подстановкой . После преобразований получим уравнение:
(1.16)
Для отыскания корней кубического уравнения имеются готовые формулы (см. справочники по математике), но ими пользоваться неудобно. В наше время можно пользоваться РС с какой-либо вычислительной программой. В частности, можно рекомендовать программу Mathcad. В этой программе очень просто построить график функции
Точки пересечения графика этой функции с осью абсцисс дадут корни полинома, т. е. значения, как это показано на рис. 6.
Рис. 6
Если у студента нет компьютера или он не умеет пользоваться комплексом Mathcad, то он может решить уравнение (1.15) “вручную”, т. е. сначала путем подбора надо найти одно значение, обращающее в ноль полином в правой части (1.16). Допустим, это . Затем, деление полинома (1.16) на приводит к квадратному уравнению
(1.17)
Корнями этого уравнения будут два числа: -8,22 и 10,9.
Следовательно, корнями уравнения (1.16) являются числа
Числа , увеличенные в 10 раз, являются главными напряжениями . Полагая получим
; ; (1.18)
Выполним проверку найденных значений главных напряжений, вычислив инварианты напряжённого состояния и сравнив их с исходными значениями (1.14).
Разница между инвариантами при повороте осей координат возникает за счет приближенного вычисления напряжений (1.18), и в нашем случае она меньше 1%.
Если площадка, наклонная к осям является главной, то полное напряжение, действующее по этой площадке, будет перпендикулярно к ней, т. е. и его составляющие по осям координат равны
(1.19)
где – направляющие косинусы нормали к главной площадке.
Направляющие косинусы нормали к главной площадки найдем следующим образом. Подставим в уравнения (1.5) вместо их выражения в виде (1.19) и получим систему уравнений:
(1.20)
Тривиальное решение системы уравнений (1.20) в виде не может быть искомым решением, так как не будет выполняться соотношение (1.6)
Найдем искомые значения , решая систему, состоящую из уравнения (1.6) и любых двух уравнений (1.20) (например, первых двух) при условии, что , а компоненты напряжения имеют значения в виде (1.1):
(1.21)
Используя два последних уравнения (1.21), выразим и через , и подставим их в первое уравнение (1.21). Таким образом, получим квадратное уравнение относительно , из которого определяем два значения . После определения и из двух последних уравнений (1.20) получим окончательное решение системы уравнений (1.21) в виде:
или
В
Рис. 7
Таким образом, два набора направляющих косинусов соответствуют противоположным граням элементарного параллелепипеда.