- •1.1.1. Полное, нормальное и касательные напряжения на наклонной площадке
- •1.1.2. Вычисление проекции касательного напряжения на заданное направление
- •1.1.3. Главные напряжения, определение положения главных площадок
- •1.2. Деформированное состояние в точке тела
- •1.2.1. Определение линейной, угловой и объёмной деформаций
- •2. Задача 2 “Постановка кинематических и статических граничных условий”
- •3. Задача 3 "Обратный метод решения задач в теории упругости. Определение нагрузок, приложенных к телу"
- •3.1. Основные уравнения теории упругости
- •3.2. Пример решения задачи
- •3.2.1. Постановка задачи
- •3.2.2. Определение компонентов деформаций
- •3.2.3. Определение компонент напряжений
- •3.2.4. Определение объемных нагрузок
- •3.2.5. Определение поверхностных нагрузок
- •3.2.6. Выводы
- •4. Задача 4 «Плоская задача теории упругости. Функция напряжений»
- •4.1. Плоская деформация
- •Геометрические уравнения Коши
- •Физические уравнения – закон Гука
- •Отметим, что Статические уравнения Навье
- •4.2. Плоское напряженное состояние
- •4.3. Функция напряжений
- •4.4. Изгиб прямоугольной полосы под действием поверхностной нагрузки
- •4.4.1. Постановка задачи
- •4.4.2. Решение задачи
- •4.4.3. Решение задачи методами сопротивления материалов
- •4.4.4. Анализ полученных решений
- •4.5. Изгиб прямоугольной полосы под действием собственного веса
- •4.5.1. Постановка задачи
- •4.5.2. Решение задачи
- •4.5.3 Решение задачи методами сопротивления материалов
- •4.5.4. Анализ полученных решений
2. Задача 2 “Постановка кинематических и статических граничных условий”
Задачей теории упругости является определение распределения напряжений, деформаций и перемещений в теле, возникающих при заданных объемных и поверхностных нагрузках, а также кинематических граничных условиях на его поверхности.
Рассмотрим вопрос о том, как задаются граничные условия на поверхности тела.
Н
Рис. 11
На участке AK контура пластинки (рис. 11а) имеется жесткая связь пластинки с неподвижным и абсолютно твердым телом и для всех точек контакта обоих тел соблюдаются условия . Контур пластинки в точках C и D имеет дискретные связи с тем же абсолютно твердым телом. Перемещения точки D контура пластинки равны нулю, т. е. . Из двух перемещений точки в плоскости пластинки лишь одно, параллельное оси , равно нулю, а другое, параллельное оси x , в результате деформаций пластинки может иметь место (табл. 2.1).
Таблица 2.1
Кинематические
граничные условия
Участок контура
Уравнения участка контура Перемещения
АК
Точка C
Точка D
К пластинке приложены поверхностные нагрузки, параллельные ее плоскости и распределенные равномерно по её толщине t (рис. 11б). Проекция интенсивности поверхностных нагрузок вдоль оси равна нулю, т. е. , и, кроме того, равны нулю и объемные силы . В связи с этим напряженное состояние в любой точке определяется только тремя компонентами напряжения: , лежащими в одной плоскости. Эти напряжения можно считать постоянными по толщине (составляющие напряжения равны нулю в точках, прилегающих к боковым поверхностям пластинки, и без существенной ошибки можно предположить, что они обращаются в нуль и по толщине пластинки). Таким образом, в пластинке имеет место плоское напряженное состояние.
В дальнейшем обсуждении толщина пластинки не имеет значения, и этот размер, как обычно, полагается равным единице. Компоненты напряжения меняются непрерывно от точки к точке по всей пластинке, и при достижении ее границ должны быть такими, чтобы уравновесить внешние силы, приложенные по контуру. Рассмотрим малую трехгранную призму (рис. 11в). Ее грань совпадает с границей пластинки, как показано на рис. 11а. Проекции на оси интенсивности поверхностных нагрузок, приложенных к контуру пластинки, равны соответственно . Условия равновесия на контуре пластинки будут иметь следующий вид (рис. 11в)
(2.1)
где и – направляющие косинусы нормали к контуру пластинки.
Уравнения (2.1) называются статическими граничными условиями.
Контур пластинки состоит из пяти прямолинейных участков и полуокружности. Значения проекции поверхностных нагрузок и направляющих косинусов нормалей к отдельным участкам контура пластинки приведены в таблице 2.2.
Проекция интенсивности поверхностных нагрузок имеет знак плюс, если совпадает с положительной осью координат , и знак минус, если противоположна положительной оси .
В заключение отметим, что роль граничных условий в теории упругости заключается в следующем:
1. при помощи статических граничных условий (2.1) обеспечивается равновесие внутренних и внешних сил на поверхности нагруженного тела (см. рис. 11в);
Таблица 2.2
Значения
на контуре пластинки Участок Уравнение
участка контура 1 2 3 4 5 6 AB 0 1 0
–1 BC
CD
0 -1 0 0 ED 0 0
KE 0 -1 0 0
2. при помощи кинематических граничных условий соблюдается совместимость перемещений точек тела в результате деформаций с наложенными на тело связями (см. рис. 11а);
3. при интегрировании дифференциальных уравнений теории упругости появляются постоянные интегрирования (или функции интегрирования), которые определяются из граничных условий.