- •1.1.1. Полное, нормальное и касательные напряжения на наклонной площадке
- •1.1.2. Вычисление проекции касательного напряжения на заданное направление
- •1.1.3. Главные напряжения, определение положения главных площадок
- •1.2. Деформированное состояние в точке тела
- •1.2.1. Определение линейной, угловой и объёмной деформаций
- •2. Задача 2 “Постановка кинематических и статических граничных условий”
- •3. Задача 3 "Обратный метод решения задач в теории упругости. Определение нагрузок, приложенных к телу"
- •3.1. Основные уравнения теории упругости
- •3.2. Пример решения задачи
- •3.2.1. Постановка задачи
- •3.2.2. Определение компонентов деформаций
- •3.2.3. Определение компонент напряжений
- •3.2.4. Определение объемных нагрузок
- •3.2.5. Определение поверхностных нагрузок
- •3.2.6. Выводы
- •4. Задача 4 «Плоская задача теории упругости. Функция напряжений»
- •4.1. Плоская деформация
- •Геометрические уравнения Коши
- •Физические уравнения – закон Гука
- •Отметим, что Статические уравнения Навье
- •4.2. Плоское напряженное состояние
- •4.3. Функция напряжений
- •4.4. Изгиб прямоугольной полосы под действием поверхностной нагрузки
- •4.4.1. Постановка задачи
- •4.4.2. Решение задачи
- •4.4.3. Решение задачи методами сопротивления материалов
- •4.4.4. Анализ полученных решений
- •4.5. Изгиб прямоугольной полосы под действием собственного веса
- •4.5.1. Постановка задачи
- •4.5.2. Решение задачи
- •4.5.3 Решение задачи методами сопротивления материалов
- •4.5.4. Анализ полученных решений
4.5. Изгиб прямоугольной полосы под действием собственного веса
4.5.1. Постановка задачи
Прямоугольная полоса с узким поперечным сечением оперта шарнирно по концам (рис. 31). Она изгибается под действием собственного веса с интенсивностью , т. е. на единичный объем в каждой точке тела действуют объемные нагрузки, интенсивность которых равна
(4.48)
К
Рис. 25
Полагаем, что напряженное состояние полосы является плоским и не изменяется вдоль координаты . Поэтому ширина сечения полосы по координате принята равной единице, т. е. .
Требуется определить компоненты напряжений методами теории упругости и сопротивления материалов.
4.5.2. Решение задачи
Покажем, что задачу о напряжениях в указанной полосе можно решить, используя в функцию напряжений , заданной в виде суммы полиномов:
. (4.49)
Убедимся вначале: что при помощи этой функции можно описывать напряженное состояние полосы без разрывов и трещин. Для этого подставим функцию напряжений в основное уравнение (4.26) плоской задачи
.
Производные от функции , входящие в это уравнение, имеют следующие значения:
Подставим их в уравнение сплошности (4.26) и получим
Поскольку уравнение сплошности обращается в тождество при любых значениях коэффициентов , то функция (4.49) описывает напряженное состояние без разрывов и трещин
Неизвестные постоянные коэффициенты определим из статических граничных условий на контуре полосы (4.20):
Вначале выразим через функцию напряжения, входящие в правую часть граничных условий (4.20), После подстановки функции (4.49) в формулы (4.25) получим:
(4.50)
Постоянные коэффициенты, входящих в выражения (4.50), должны обеспечить равенство внутренних и внешних сил на контуре полосы. Условием выполнения такого равенства является соблюдение статических граничных условий, в которые кроме напряжений входят направляющие косинусы и интенсивности внешних нагрузок (см. рис. 31):
на верхней грани: при
(4.51)
на нижней грани: при
(4.52)
Граничные условия (4.20) для верней грани с учетом (4.51) имеют следующий вид:
Откуда
(4.53)
При рассмотрении граничных условий на нижней грани получим те же значения для коэффициентов .
Для напряжений (4.64) с учетом (4.67) получим следующие выражения:
(4.54)
Чтобы определить коэффициент , найдем интенсивности внешних нагрузок , например, на правом торце. Для этого подставим выражения напряжений (4.54) и значения направляющих косинусов внешней нормали в граничные статические условия (4.20)
(4.55)
Из выражений (4.55) видно, что по торцу действуют касательные и нормальные внешние нагрузки. Однако, при постановке задачи не были заданы законы их распределения (см. рис. 25).
Используя принцип Сен-Венана, вместо точных граничных условий рассмотрим интегральные граничные условия (4.53), которые при значении имеют следующий вид (см. табл. 4.2 из первой части учебно-методического пособия и рис. 25)
(4.56)
В (4.56) были учтены правила знаки для проекций равнодействующих внешних сил на оси , которые были показаны на рисунке 23.
Вначале рассмотрим первое интегральное уравнение (4.56) с учетом (4.55)
(4.57)
При четной функции уравнение (4.57) превращается в тождество при любом значении .
Далее рассмотрим второе интегральное уравнение (4.56)
(4.58)
Заметим, что осевой момент инерции для прямоугольного поперечного сечения при ширине равен
(4.59)
С учетом (4.59) из соотношения (4.58) получим для коэффициента следующее выражение
(4.60)
Если в формулу для нормальных напряжений из (4.54) вместо коэффициента подставить его выражение в виде (4.60), то получим:
(4.61)
В выражение (4.61) входят три слагаемые:
от изгибающих моментов
от собственного веса (основное слагаемое)
от собственного веса (дополнительное слагаемое)
,
которые в виде эпюр показаны ниже (рис. 26).
Наконец рассмотрим третье интегральное условие по Сен-Венану из (4.56)
Подставляя в это интегральное граничное условие вместо интенсивности поверхностных касательных нагрузок ее выражение из (4.55), получим тождество. Действительно,
Рис. 26
Напряжения (4.54) с учетом (4.59)–(4.61) примут окончательный вид:
(4.62)