1.2. Деформированное состояние в точке тела

При нагружении в теле возникнут не только напряжения, но и деформации – изменения взаимного расположения точек тела. Рассмотрим деформации элементарного параллелепипеда со сторонами в окрестности точки тела М (рис. 8), по граням которого действуют заданные компоненты тензора напряжений (1.1).

Связь между деформациями и напряжениями определяется линейными соотношениями обобщенного закона Гука:

(1.22)

где – модуль упругости материала, – коэффициент Пуассона, модуль сдвига

По формулам (1.22) компоненты деформации в точке при заданных компонентах напряжений (1.1) и имеют следующие значения:

(1.23)

(1.24)

С

Рис. 8

огласно результатам вычислений отрезки и , направленные соответственно вдоль осей и на рис. 8, удлинятся, а отрезок – укоротится; прямой угол между ребрами параллелепипеда в плоскости увеличится, в плоскости уменьшится, а в плоскости останется без изменений.

Если известны три компоненты линейной деформации и три компоненты угловой деформации в данной точке, то можно определить линейную деформацию в любом направлении и искажение угла между любыми взаимно перпендикулярными бесконечно малыми отрезками, проведенными из этой точки

Например, пусть из некоторой точки (рис. 9) нагруженного тела проведены три луча , имеющие соответствующие направляющие косинусы

Ни один из этих лучей не параллелен осям и, кроме того, лучи и взаимно перпендикулярны, т. е. имеет место соотношение

Рис. 9

Линейная деформация в направлении луча вычисляется по формуле

(1.25)

Деформация сдвига между лучами и определяется из следующего выражения:

(1.26)

1.2.1. Определение линейной, угловой и объёмной деформаций

Компоненты деформаций в точке тела имеют, например, значения (1.23) и (1.24). Требуется вычислить линейную деформацию в направлении (см. рис. 9), заданном направляющими косинусами относительно осей из таблицы 1.2 первой части учебно-методического пособия:

(1.27)

Подставляя в формулу (1.25) значения компонентов деформации (1.23) и направляющих косинусов (1.27), получим

Знак минус означает, что в направлении произойдет укорочение бесконечно малого отрезка, проведенного из точки .

Для определения угла сдвига между отрезками BA и BC на рис. 2 совместим с этими отрезками оси и :

для оси

для оси

Подставляя значения компонентов деформации и направляющих косинусов в (1.26), получим:

По закону Гука (1.22)

Поскольку деформация сдвига положительна, то произойдет уменьшение прямого угла между BA и BC на величину (см. рис. 2 и 10). Угловая деформация показана на рис. 10 при условии, что в процессе деформации положение отрезка остается неизменным.

Р

Рис. 10

анее было вычислено касательное напряжение (см. рис. 3), при котором угол между осями увеличился. Так как ось имеет направление, противоположное направлению оси , то и

.

Объемная деформация

(1.28)

не зависит от ориентации осей . Если подставить в (1.28) вместо их значения в виде (1.23), то получим . Так как эта деформация оказалась положительной, то в окрестности рассматриваемой точки произойдет увеличение объема.