4.5.3 Решение задачи методами сопротивления материалов

На рис. 27 показана расчетная схема балки, нагруженной распределенной нагрузкой и изгибающими моментами на концах.

Решение в элементарной теории изгиба, как и в предыдущей задаче, имеет следующий вид

(4.63)

где поперечная сила и изгибающий момент определяются соответственно по формулам:

(4.64)

Рис. 27

(4.65)

с

Рис. 28

татический момент отсеченной части сечения, расположенной ниже уровня , равен (рис. 34)

(4.66)

Выражения для напряжений (4.63) с учетом (4.64)–(4.66) примут окончательный вид:

(4.67)

4.5.4. Анализ полученных решений

1. Формулы для касательных напряжений , полученные в теории упругости и элементарной теории изгиба, совпали.

2. Выражение для напряжения из соотношений (4.62) можно представить в виде суммы двух слагаемых:

первое (основное) слагаемое

(4.68)

совпадает с решением элементарной теории изгиба(4.67);

второе (дополнительное) слагаемое

представляет необходимую поправку, учитывающую надавливание продольных волокон друг на друга.

Если на торцах изгибающая нагрузка распределена по линейному закону, то выражение напряжения (4.68) является точным решением задачи.

Дополнительное слагаемое не зависит от координаты (см. рис. 26) и при значении имеет следующее значение

Независимость этого слагаемого от продольной координаты приводит к выводу, что по торцам действуют взаимно уравновешенных поверхностных нагрузок.

Второе слагаемое в выражении для напряжения (4.62) имеет следующее значение

Поправка к величине в виде в середине пролета балки (при ) составляет 0,27%, а на расстоянии, равном высоте балки от торца (при ), – 0,74%. Следовательно, действием поверхностных самоуравновешенных нагрузок на торцах, параллельных оси , на напряженное состояние на расстоянии от торца, равном высоте сечения, можно пренебречь.

3

Рис. 29

Рис. 32

. В элементарной теории изгиба используется гипотеза об отсутствии давления продольных волокон друг на друга. В связи с этим принимается, что напряжения . Однако в теории упругости давление волокон друг на друга учитывается в виде напряжения . Изменение по высоте сечения этого напряжения показано на рисунке. 29. Его наибольшее значение возникает в точке и равно .