- •1.1.1. Полное, нормальное и касательные напряжения на наклонной площадке
- •1.1.2. Вычисление проекции касательного напряжения на заданное направление
- •1.1.3. Главные напряжения, определение положения главных площадок
- •1.2. Деформированное состояние в точке тела
- •1.2.1. Определение линейной, угловой и объёмной деформаций
- •2. Задача 2 “Постановка кинематических и статических граничных условий”
- •3. Задача 3 "Обратный метод решения задач в теории упругости. Определение нагрузок, приложенных к телу"
- •3.1. Основные уравнения теории упругости
- •3.2. Пример решения задачи
- •3.2.1. Постановка задачи
- •3.2.2. Определение компонентов деформаций
- •3.2.3. Определение компонент напряжений
- •3.2.4. Определение объемных нагрузок
- •3.2.5. Определение поверхностных нагрузок
- •3.2.6. Выводы
- •4. Задача 4 «Плоская задача теории упругости. Функция напряжений»
- •4.1. Плоская деформация
- •Геометрические уравнения Коши
- •Физические уравнения – закон Гука
- •Отметим, что Статические уравнения Навье
- •4.2. Плоское напряженное состояние
- •4.3. Функция напряжений
- •4.4. Изгиб прямоугольной полосы под действием поверхностной нагрузки
- •4.4.1. Постановка задачи
- •4.4.2. Решение задачи
- •4.4.3. Решение задачи методами сопротивления материалов
- •4.4.4. Анализ полученных решений
- •4.5. Изгиб прямоугольной полосы под действием собственного веса
- •4.5.1. Постановка задачи
- •4.5.2. Решение задачи
- •4.5.3 Решение задачи методами сопротивления материалов
- •4.5.4. Анализ полученных решений
1. Задача 1
"Исследование напряженно-деформированного состояния
в точке тела"
Цель решения этой задачи – усвоение основ теории напряжений и деформаций.
Полагаем, что напряженно-деформированное состояние тела было определено расчетами или экспериментально.
1.1. Напряженное состояние в точке тела
Мысленно вырежем в окрестности произвольной точки нагруженного тела элементарный (бесконечно малый) параллелепипед, грани которого перпендикулярны координатным осям .
Условие задачи. Компоненты напряжений, действующие по граням параллелепипеда, равны следующим величинам:
(1.1)
Э
Рис. 1
Совокупность нормальных и касательных напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках
называют тензором напряжений.
Напряженное состояние (НС) в точке полностью определено, если известны шесть компонентов тензора напряжений (см. рис. 1), т. е., зная эти шесть компонентов напряжений в точке, можно вычислить напряжения на любой площадке, проходящий через эту точку.
1.1.1. Полное, нормальное и касательные напряжения на наклонной площадке
Найдем напряжения на некоторой наклонной к осям площадке, проходящей через заданную точку. Положение площадки относительно осей координат определяется направляющими косинусами внешней нормали к этой площадке. Вначале вычисляем значения проекций на оси координат полного напряжения по формулам:
(1.2)
Затем находим величину полного напряжения:
(1.3)
Зная проекции , полного напряжения, действующего по наклонной площадке, можно определить нормальное и касательное напряжения по формулам:
(1.4)
(1.5)
Р
Рис.
2
Пусть положение внешней нормали к площадке (рис. 2) относительно координатных осей определено следующими значениями направляющих косинусов (табл. 1.2 первой части учебного пособия):
Полезно проверить правильность величин направляющих косинусов подстановкой их в выражение
(1.6)
которое должно превращаться в тождество.
Подставляя значения напряжений и направляющих косинусов в формулы (1.3), получим:
(1.7)
С
Рис. 3
Значения , и , вычисленные по формулам (1.3)–(1.5) с учетом заданных напряжений (1.1) и направляющих косинусов, имеют следующие значения:
Напряжение имеет знак плюс. Следовательно, оно будет направлено от сечения (рис. 3).
1.1.2. Вычисление проекции касательного напряжения на заданное направление
Направление касательного напряжения в плоскости сечения с внешней нормалью относительно любых двух ортогональных осей и , лежащих в той же плоскости определяется следующим образом.
Вначале определяются проекции полного напряжения на оси и в виде и (рис. 4).
З
Рис. 4
Напомним, как найти, например, – проекцию полного напряжения на ось . Обозначим направляющие косинусы оси , как , и спроектируем на ось :
(1.8)
Подставляя в (1.8) вместо их значения в виде (1.2), получим
(1.9)
Здесь – направляющие косинусы внешней нормали к площадке, по которой действует касательное напряжение .
Рассмотрим вновь трехгранную призму, показанную на рис. 3. Найдём проекцию касательного напряжения , действующую по площадке ВСК, на ось , т.е. касательное напряжение (см. рис. 3).
Внешняя нормаль к площадке ВСК совпадает с положительной осью и её направляющие косинусы
(1.10)
Направляющие косинусы оси имеют следующие значения:
(1.11)
Вычислим касательное напряжение по формуле (1.9) с учётом (1.1), (1.10) и (1.11):
Поскольку внешняя нормаль к площадке совпадает с положительной осью , то отрицательное касательное напряжение будет направлено в сторону, противоположную направлению оси (см. рис. 3).