Способы задания функции

1. Аналитический способ задания функции.

А) Явный способ задания функции. Если правило , по которому устанавливается соответствие между элементами множеств и , задается в виде формулы, указывающей, какие действия необходимо произвести над переменной , чтобы получить значение , то такой способ задания называется явным. В этом случае область определения и область изменения определяются, как правило, самой формулой.

Пример 1.1. Функция задается формулой

.

Область задания определяется системой:

Решаем данную систему:

.

Следовательно, .

Следует отметить, что при явном задании функции для разных подмножеств множества могут быть использованы разные формулы.

Пример 1.2.

Б) Неявный способ задания функции. Если соответствие между элементами множеств и задается в виде уравнения

,

связывающего переменные и , то такой способ задания называется неявным. При этом, если для любого из некоторого множества существует значение , которое совместно с удовлетворяет уравнению , то тем самым определена функция .

Пример 1.3. Уравнение

определяет как функцию , при этом можно явно выразить через .

Пример 1.4. Уравнение

определяет как функцию , при этом невозможно явно выразить через .

Заметим, что является тождеством.

В) Параметрический способ задания функции. Пусть на множестве заданы две функции: и , имеющие области значений и соответственно. Пусть правило , по которому устанавливается соответствие между элементами множеств и , задается с помощью системы

()

Такой способ задания функции называется параметрическим, а переменная – параметром.

Пример 1.5. Функция задается уравнениями

()

где – положительное число.

2. Словесный способ задания функции.

Если правило , по которому устанавливается соответствие между множествами и описывается словами, то такой способ задания называется словесным.

Пример 1.6. Функция определяется как наибольшее целое число, не превосходящее . Тем самым определена для любого . Так, , , .

3. Табличный способ задания функции.

Если правило , по которому устанавливается соответствие между множествами и , задается в виде таблицы, в которой указываются пары соответствующих элементов этих множеств, то такой способ задания называется табличным.

Как правило, такой способ задания возникает при экспериментальном изучении функциональных зависимостей, когда в таблице сопоставляются полученные из опыта данные.

4. Графический способ задания функции.

Если правило , по которому устанавливается соответствие между множествами и , задается в виде кривой на плоскости , координатами точек которой являются пары значений и соответствующего ему , то такой способ задания называется графическим.

Табличный и графический способы задания функции в данном пособии рассматриваться не будут.

График функции

Пусть на множестве задана функция . Определим на плоскости прямоугольную декартову систему координат . Каждой паре значений аргумента и функции соответствует точка на плоскости . Когда переменная меняется в пределах своей области задания , эта точка описывает некоторую кривую, которая называется графиком функции.

График однозначной функции обладает следующим свойством: любая вертикальная прямая может пересекать график не более чем в одной точке.

В качестве примера приведем график функции (рис. 1.1), описанной в примере 1.6. ²

Рис. 1.1.