- •Предел и непрерывность функции одной переменной
- •Введение. Множества и операции над ними
- •Примеры числовых множеств, их стандартные обозначения
- •Пустое множество
- •Включение множеств
- •Равенство множеств
- •Операции над множествами
- •Эквивалентность множеств
- •Мощность множества
- •§ 1. Функция
- •Способы задания функции
- •Аналитический способ задания функции.
- •Табличный способ задания функции.
- •Графический способ задания функции.
- •График функции
- •Обратная функция
- •Основные элементарные функции
- •4) Тригонометрические функции.
- •5) Обратные тригонометрические функции.
- •Суперпозиция функций
- •Классификация функций
- •Задачи к § 1
- •§ 2. Бесконечно малые функции
- •Задачи к §2
- •§ 3. Свойства бесконечно малых функций
- •Задачи к §3
- •§ 4. Бесконечно большие функции
- •Задачи к §4
- •§ 5. Предел функции
- •Односторонние пределы
- •Свойства предела функции
- •Задачи к §5
- •§ 6. Теоремы о вычислении предела функции. Неопределенности
- •Задачи к §6
- •§ 7. Замечательные пределы
- •2) Число . Натуральные логарифмы
- •§ 8. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые
- •Вычисление пределов степенно-показательных функций
- •Задачи к §8
- •§ 9. Непрерывность функции
- •Второе определение непрерывности
- •Точки разрыва
- •Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке
- •Задачи к §9
- •Литература
- •Оглавление
Задачи к §4
Задача 1. Доказать, справедливость следующих утверждений:
а) функция является бесконечно большой в точке ;
б) функция является бесконечно большой в бесконечно удаленной точке;
в) функция является бесконечно большой в точке ;
г) функция является бесконечно малой в бесконечно удаленной точке.
Указание. В рассматриваемых задачах воспользоваться теоремой 4.1 и результатами задач к §§ 1-3.
Решение.
а) Так как функция является бесконечно малой в точке (см. задачу 1 а) к §2), то – бесконечно большая в этой же точке.
б) Функция – бесконечно малая в бесконечно удаленной точке (см. задачу 2 а) к §2). Следовательно, – бесконечно большая там же.
в) Функцию представляем в виде , где – бесконечно малая в точке функция (см. задачу 1 б) к §2). Следовательно, – бесконечно большая в той же точке функция.
г) Функцию представляем в виде , где функция – бесконечно большая в бесконечно удаленной точке (пример 4.2). Следовательно, – бесконечно малая в той же точке функция.
Задача 2. Доказать, что частное от деления бесконечно большой в точке функции на функцию, локально ограниченную в этой точке, является величиной бесконечно большой.
Решение.
Пусть – бесконечно большая, а – локально ограниченная в точке функции, заданные в некоторой –окрестности точки . В силу локальной ограниченности функции существует такое число (), что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполнено неравенство , где . Зададимся произвольным числом , укажем число и по нему найдем такое (), что для всех , удовлетворяющих неравенствам , выполнено неравенство .
Укажем . Очевидно . Указано такое , что для всех , удовлетворяющих неравенствам , будут справедливы оба неравенства, откуда следует справедливость соотношения . В силу произвольности теорема доказана.
Задача 3. Доказать, что:
а) функция является бесконечно большой в точке ;
б) функция является бесконечно большой в бесконечно удаленной точке.
Указание. Воспользоваться утверждением, доказанным в задаче 2.
Решение.
а) Функцию представим в виде . По теореме 4.1 функция является бесконечно большой в точке , поскольку – бесконечно малая в этой точке функция (см. замечание 2.3). Так как для всех , удовлетворяющих неравенству выполнены неравенства: , то функция локально ограничена в точке .
По доказанному в задаче 2 утверждению получим, что является бесконечно большой в точке функцией.
б) Функции и являются бесконечно большими в бесконечно удаленной точке (доказать самостоятельно, непосредственно используя определение 4.2). Их сумма по теореме 4.2 также является бесконечно большой в бесконечно удаленной точке функцией. Функция ограничена в бесконечно удаленной точке, так как при имеем и .
По доказанному в задаче 2 утверждению функция является бесконечно большой в бесконечно удаленной точке.
§ 5. Предел функции
В этом и последующих § 6, § 7, § 8 предполагается, что функция задана на множестве , а точка – точка сгущения этого множества. Если же речь идет о бесконечно удаленной точке, то предполагается, что эта точка является предельной точкой множества .
Определение 5.1. Число является пределом функции в точке (в бесконечно удаленной точке), если функцию можно представить в виде
,
где – функция, бесконечно малая в точке (в бесконечно удаленной точке).
Тот факт, что число является пределом функции в точке , записывается следующим образом
(подстрочную запись следует читать так: «при , стремящемся к »).
Тот факт, что число является пределом функции в бесконечно удаленной точке, записывается следующим образом
(подстрочную запись следует читать так: «при , стремящемся к бесконечности»).
Так как является бесконечно малой, можно сформулировать определение предела в другой, эквивалентной, форме.
Определение 5.2. Число является пределом функции в точке (или при , стремящемся к ), если для любого положительного числа можно указать такое положительное (зависящее от ) число , что для всех выполнено неравенство:
(или выполнено двойное неравенство ()).
Определение 5.3. Число является пределом функции в бесконечно удаленной точке (или при , стремящемся к бесконечности), если для любого положительного числа найдется такое положительное (зависящее от него) число , что для всех справедливо неравенство
(или выполнено двойное неравенство ().
Замечание 5.1. В определениях 5.1, 5.2, 5.3 речь идет о конечном пределе функции . Если функция является бесконечно большой в точке (или в бесконечно удаленной точке), то этот факт записывается следующим образом:
(или ).
Замечание 5.2. Если – бесконечно большая в точке функция и в некоторой окрестности () сохраняется неравенство , то пишут
,
если сохраняется неравенство , то пишут
.
Аналогичную форму записи используют для случая бесконечно удаленной точки. Если для всех , удовлетворяющих условию (), сохраняется неравенство , то пишут . Если для всех , удовлетворяющих условию (), сохраняется неравенство , то пишут .