46

Тихонова В.Ф.

Практикум по высшей математике.

Приложения производной функции одной переменной. Графики.

2004

Оглавление

§1. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя. §2. Возрастание и убывание функции. §3. Экстремумы функции. §4. Наибольшее и наименьшее значения функции. §5. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. §6. Асимптоты плоской кривой. §7. Полное исследование функции и построение графика. Список учебной литературы

4 стр. 5 стр. 14 стр. 18 стр. 24 стр. 31 стр. 35 стр. 39 стр. 51 стр.

§1. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя. Формулировка правила Лопиталя.

Пусть в некоторой окрестности точки х = а функции f(x) и дифференцируемы (кроме, может быть самой точки х = а) и .

Если или , так что предел содержит неопределенность или ,

и существует предел отношения производных этих функций (конечный или бесконечный),

то существует и предел отношения самих функций, причем выполняется равенство

. (1)

Это правило остается справедливым, если х

Правило может применятся несколько раз (если соблюдаются условия, при которых оно справедливо).

Применение правила Лопиталя можно комбинировать с другими приемами вычисления пределов.

Раскрытие неопределенностей или .

Вычислить следующие пределы, применяя правило Лопиталя.

Пример 1.

Решение.

Здесь 



Поэтому данный предел содержит неопределенность .

Так как функции f(x) и дифференцируемы в окрестности точки х = –1, то попробуем вычислить предел отношения их производных:

===.

Получилось, что предел отношения производных существует и равен числу . На основании правила Лопиталя заключаем, что предел отношения функций также существует и равен числу .

Ответ: .

Пример 2.

.

Решение.

     

Пояснение к символу “”:

после того, как обнаружена неопределенность в пределе отношения производных, пробуем вычислить предел отношения вторых производных и эту попытку обозначаем символом “”. В результате получилась такая цепочка записей:

.

В конце концов предел отношения третьих производных вычислился и равен числу . Теперь в соответствии с правилом Лопиталя заключаем, что все пределы отношений предыдущих производных и самих функций существует и равен . Поэтому получается обратная цепочка записей

Таким образом, правило Лопиталя применено три раза, в результат получено значение искомого предела и этот факт отражается в записях с использованием символа “”.

При этом важно понимать, что если бы получилось так, что предел отношения оказался несуществующим, то это бы не означало, что не существуют и предыдущие пределы (то есть переходы “” в этом случае делать нельзя). Это только лишь означало бы, что данный предел не может быть вычислен по правилу Лопиталя.

Ответ: .

Пример 3.

.

Решение.

= =   .

Ответ: 2.

Пример 4.

.

Решение.

 = =   = 

Здесь работа по правилу Лопиталя значительно упростилась применением теоремы о пределе произведения, с помощью которой была отделена функция , не участвующая в создании неопределенности.

Ответ: .

Пример 5.

.

Решение.

       

Ответ:

Пример 6.

.

Решение.



– не существует.

Это значит, что не выполняется одно из условий правила Лопиталя – условие существования предела отношения производных двух функций. Поэтому предел отношения этих двух функций не может быть вычислен по правилу Лопиталя, хотя может существовать и быть вычислен иными приемами.

Действительно,

Таким образом, работая с пределом по правилу Лопиталя, нельзя быть уверенным в его успешном вычислении до тех пор, пока не получится значение (конечное или бесконечное) предела отношения производных некоторого порядка. Только в этом случае становятся справедливыми все равенства в цепочке



Раскрытие неопределенностей ([0], [ – ], [1^], [⁰], 0⁰]).

В случае неопределенности вида [0] или [ – ], следует функцию, стоящую под пределом, преобразовать алгебраически так, чтобы привести её к неопределенности вида или и далее воспользоваться правилом Лопиталя. В частности, используется преобразование произведение к дроби: .

Неопределенности типов [1^], [⁰], 0⁰] раскрываются с помощью предварительного логарифмирования функции, стоящей под пределом.

Пример 7.

.

Решение.

[0].

Ответ: –1.

Пример 8.

.

Решение.

[] 

Ответ:

Пример 9.

.

Решение.

[]  =    

Ответ:

Пример 10.

.

Решение.

Данный предел содержит неопределенность [1^]. Обозначим . Тогда

Вычислим  = 

Итак, получено, что .

Здесь знаки предела и логарифма были переставлены в соответствии со свойством пределов непрерывных функций:

если непрерывная функция в точке х = а.

Ответ: .

Пример 11.

.

Решение.

Данный предел содержит неопределенность [⁰]. Обозначим тогда

Вычислим [0]=

 =

Так как то

Ответ:

Пример 12.

=[0⁰]

Решение.

=  .

Получено 

Здесь показана наиболее короткая запись вычислений, поясненных в предыдущих примерах.

Ответ: =1.

Дополнительные упражнения.

1.	2. ;
3.	4. ;
5.	6. ;
7.	8. ;
9.	10. ;
11.	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. .

Ответы.

1. ; 2. ; 3. ; 4. 2; 5. ; 6. 0;

7. ; 8. 1; 9. ; 10. –2; 11. 1; 12. 0;

13. 0; 14. ; 15. ; 16. 0; 17. 0; 18. ;

19. 1; 20. ; 21. 1.