- •§1. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя. Формулировка правила Лопиталя.
- •Раскрытие неопределенностей или .
- •§2. Возрастание и убывание функции.
- •§3. Экстремумы функции.
- •§4. Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •§5. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- •§6. Асимптоты плоской кривой.
- •§7. Полное исследование функции и построение графика.
§3. Экстремумы функции.
Экстремумами функции называются ее максимумы и минимумы.
Точка х0 называется точкой максимума функции , если существует такая двухсторонняя окрестность точки х0 , что для всякой точки х х0 этой окрестности выполняется неравенство .
При этом число называется максимумом функции . Аналогично, если для всякой точки х х0 из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство , то х0 называется точкой минимума, а число – минимумом функции .
Понятие экстремума связано с наличием окрестности точки х0 из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения.
Необходимое условие экстремума.
Если непрерывная функция имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.
Необходимое условие экстремум не является достаточным, т.е. точки, в которых или же не существует, не обязательно являются точками экстремумов функции.
Точки, в которых необходимое условие экстремумов выполняется, называются критическими, или подозрительными на экстремум.
Критические точки входят в область определения функции вместе с некоторой своей окрестностью, в которой функция является непрерывной и дифференцируемой (за исключением, быть может, самой критической точки, где может не существовать). Критические точки, в которых , называются еще стационарными, в них возможен только гладкий экстремум функции . Критические точки, в которых не существуют, являются подозрительными на острый экстремум функции . Наличие или отсутствие экстремума функции в ее критической точке проверяется чаще всего по следующим двум признакам:
Первый достаточный признак экстремума.
Если при переходе через критическую точку х0 (слева направо) производная изменяет свой знак, то в точке х0 есть экстремум причем, это максимум, если знак меняется с плюса на минус, и это минимум, если знак меняется с минуса на плюс. Если при переходе через критическую точку х0 производная не изменяет свой знак, то в точке х0 нет экстремума функции .
Второй достаточный признак экстремума.
Пусть х0 – стационарная точка Первый достаточный признак экстремума функции , т.е. и существует вторая производная , непрерывная в точке х0.
Если >0, то х0 – точка минимума функции ;
если <0, то х0 – точка максимума функции ;
если =0, то вопрос об экстремуме в точке х0 остается открытым.
Пример 1.
Найти экстремумы функции .
Решение.
Находим .
Так как функция и ее производная определены и непрерывны при х(;+), то критическими точками являются только точки, в которых , т.е. х1=0, х2,3=2. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы знакопостоянства ее производной (следовательно, на интервалы монотонности функции):
Н а основании первого достаточного признака экстремумов делаем вывод, что данная функция имеет три точки экстремумов:
x = –2 и х = 2 – точки минимумов, х = 0 – точка максимума.
Вычисляя значение функции в точках экстремумов, находим экстремумы функции и строим схематически график:
ymin = y(–2) = –1;
ymax = y(0) = 3;
ymin = y(2) = –1;
В данной задаче все критические точки являются стационарными ,поэтому можно проверять в них и второе достаточное условие экстремумов. Для этого находим
Так как то х = –2 – точка минимума,
так как то х = 0 – точка максимума,
так как то х = 2 – точка минимума.
Ответ: ; ; .
Пример 2.
Найти экстремумы функции .
Решение.
Область определения функции х(–;+).
Вычисляем производную .
Находим точки, в которых выполняется необходимое условие экстремумов:
, если х = –1;
не существует, елси х = 0.
Получились две критические точки, причем, вторая из них (х = 0) является подозрительной на острый экстремум.
Проверяем достаточное условие монотонности функции и экстремумов (первое):
x = –1 – точка max;
х = 0 – точка min (острого);
;
.
Ответ: ; .
Пример 3.
Исследовать функцию на монотонность и экстремумы .
Решение.
Область определения функции: х 1.
Находим производную
Необходимое условие экстремумов:
х1 = 0, х2 = 2 – это стационарные точки
не существует (х–1)2 = 0 х = 1 – не является критической точкой, так как не входит в область определения функции.
Достаточное условие монотонности и экстремумов:
– точка max, – точка min.
Вычисляем значения функции в точках экстремумов:
;
.
Строим схематический чертеж по результатам исследования:
Ответ:
возрастает при х(;0) и (2;+),
убывает при х(0;1) и (1;2).
Пример 4.
Найти экстремумы функции .
Решение.
Область определения функции: х > 0.
Находим производную .
Необходимое условие экстремумов:
;
не существует – таких х нет на области определения функции.
Таким образом, – единственная точка, подозрительная на экстремум. Проверим в ней второе достаточное условие экстремума:
= – это точка min функции.
==.
Ответ: =.
Дополнительные упражнения.
1. ; |
2. ; |
3. ; |
4. ; |
5. ; |
6. ; |
7. ; |
8. ; |
9. ; |
10. ; |
11. ; |
12. . |
Ответы.
1. ; |
2. ; |
3. ; |
4. ; |
5. ; |
6. ; |
7. ; |
8. Экстремумов нет; |
9. |
10. ; |
11. |
12. . |