§5. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

График дифференцируемой функции называется выпуклым (или выпуклым вверх) на интервале x(a;b), если он расположен ниже любой касательной, проведенной к графику на этом интервале.

График функции называется вогнутым (или выпуклым вниз) на интервале x(a;b), если он расположен выше любой касательной, проведенной к графику на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости.

При x(a;х₀) график выпуклый, при x(х₀;b) вогнутый, М₀(х₀;y₀) – точка перегиба.

Достаточное условие выпуклости, вогнутости.

Если функция является дважды дифференцируемой и ее сохраняет знак при всех x(a;b), то график функции имеет постоянное направление выпуклости на этом интервале:

при <0 – выпуклость вверх,

при >0 – вогнутость (выпуклость вниз).

Необходимое условие для точки перегиба.

Если x₀ – абсцисса точки перегиба графика функции , то или не существует.

Необходимое условие не является достаточным. Точки, принадлежащие графику функции , в которых или не существует, называются подозрительными на перегиб.

Достаточное условие для точек перегиба.

Если вторая производная при переходе через точку х₀, подозрительную на перегиб, изменяет знак, то точка графика с абсциссой х₀ является точкой перегиба. Если не изменяет знак при переходе через точку х₀, то перегиба нет.

В следующих примерах требуется определить точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графиков функций.

Пример 1.

.

Решение.

Область определения функции .

Находим ;

.

при х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 3 – это точки, подозрительные на перегиб.

Проверяем достаточное условие выпуклости, вогнутости, точек перегиба:

При х = 1 и х = 3 есть перегибы, при х = 0 перегиба нет.

Вычисляем ординаты точек перегиба:

; .

Ответ: точки перегиба М₁(1; 5,5) и М₂(3; –112,5),

график вогнутый при x(–; 1) и x(3; +), график выпуклый x(1; 3).

Пример 2.

.

Решение.

Область определения функции: x(–;+).

Находим , .

не существует при х=0, но изменяет знак с + на – при переходе через х=0. Поэтому точка графика (0;0) является точкой перегиба, при x(–;0) график вогнут, при x(0;+) – выпуклый.

Дополнительные упражнения.

Определить интервалы выпуклости и вогнутости графиков следующих функций. Найти точки перегибов.

1. y=3x4–8x3+6x2+12;

2. y=x3–12x2+x–1;

3. y=ln(1+x2);

4. y=;

5. .

Ответы.

1. Точки перегиба и ; при и график выпуклый, при график вогнутый.

2. Точка перегиба ; при график выпуклый, при график вогнутый.

3. Точка перегиба и ; при и график выпуклый, при график вогнут.

4. Точка перегиба и ; при и график вогнут, при график выпуклый.

5. Точка перегиба ; при график выпуклый, при график вогнут.