- •Предел и непрерывность функции одной переменной
- •Введение. Множества и операции над ними
- •Примеры числовых множеств, их стандартные обозначения
- •Пустое множество
- •Включение множеств
- •Равенство множеств
- •Операции над множествами
- •Эквивалентность множеств
- •Мощность множества
- •§ 1. Функция
- •Способы задания функции
- •Аналитический способ задания функции.
- •Табличный способ задания функции.
- •Графический способ задания функции.
- •График функции
- •Обратная функция
- •Основные элементарные функции
- •4) Тригонометрические функции.
- •5) Обратные тригонометрические функции.
- •Суперпозиция функций
- •Классификация функций
- •Задачи к § 1
- •§ 2. Бесконечно малые функции
- •Задачи к §2
- •§ 3. Свойства бесконечно малых функций
- •Задачи к §3
- •§ 4. Бесконечно большие функции
- •Задачи к §4
- •§ 5. Предел функции
- •Односторонние пределы
- •Свойства предела функции
- •Задачи к §5
- •§ 6. Теоремы о вычислении предела функции. Неопределенности
- •Задачи к §6
- •§ 7. Замечательные пределы
- •2) Число . Натуральные логарифмы
- •§ 8. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые
- •Вычисление пределов степенно-показательных функций
- •Задачи к §8
- •§ 9. Непрерывность функции
- •Второе определение непрерывности
- •Точки разрыва
- •Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке
- •Задачи к §9
- •Литература
- •Оглавление
Эквивалентность множеств
Если между множествами и существует взаимно однозначное соответствие, то эти множества называются эквивалентными, что обозначается следующим образом:
.
Эквивалентность множеств обладает свойством транзитивности:
если , а , то .
Мощность множества
Чтобы выделять множества, эквивалентные данному множеству, вводится понятие мощности множества.
В простейшем случае, когда – конечное множество, перенумеруем его элементы:
.
Получим взаимно однозначное соответствие между множеством и конечным подмножеством натуральных чисел
.
В таком случае говорят, что мощность множества равна количеству его элементов .
Если множество эквивалентно множеству натуральных чисел :
,
то элементы этого множества также можно перенумеровать
.
В этом случае множество называется счетным. Мощность всех счетных множеств одинакова и обозначается буквой .
Доказано [1], что из всех бесконечных множеств счетные множества имеют минимальную мощность. Например, отрезок имеет большую, чем , мощность. Мощность отрезка называется мощностью континуума. Будем обозначать ее через . Мощность имеют не только все конечные, но и бесконечные отрезки, интервалы и полуинтервалы на числовой оси, в том числе и вся числовая ось.
Существуют множества, мощность которых больше, чем .
§ 1. Функция
Рассматриваемые в математике величины можно разделить на два класса: постоянные, т.е. величины, принимающие лишь одно значение, и переменные, т.е. величины, которые могут в процессе решения задачи принимать различные значения.
Переменная величина обозначается каким-либо символом. Она считается заданной, если известно множество значений, которые она может принимать. Это множество называется областью изменения переменной. Как правило, переменные обозначаются строчными буквами (латинскими или греческими), а множества их значений – прописными. Так как числа изображаются точками на числовой оси, значения переменной будем часто называть точками.
Области изменения переменной могут быть весьма разнообразны. Переменная может принимать натуральные значения, в этом случае областью ее изменения является множество натуральных чисел . Областью изменения переменной может также служить любой числовой промежуток: – замкнутый; – открытый; или – полуоткрытый; любой бесконечный промежуток: , , , или , а также объединение или пересечение промежутков.
Основным понятием при изучении зависимости между переменными величинами является понятие функции.
Определение 1.1. Пусть заданы переменная с областью изменения и переменная с областью изменения . Если можно указать правило , по которому каждому значению ставится в соответствие значение , то переменная называется функцией переменной . При этом переменная называется аргументом функции, множество – областью определения (или областью задания) функции, а множество – областью изменения (или областью значений) функции.
Тот факт, что является функцией записывается следующим образом:
или .
Определение 1.2. Функция натурального аргумента , называется последовательностью. Элементы последовательности обозначаются :
().
Функции, у которых каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции , называются однозначными. Функции, у которых значению аргумента могут соответствовать несколько значений функции, называются многозначными. В дальнейшем будут рассматриваться только однозначные функции.
Итак, функция представляет собой тройку , в которую входят: область определения , область значений и правило , по которому устанавливается соответствие между элементами множеств и . Задать функцию – означает указать все три элемента .