- •Предел и непрерывность функции одной переменной
- •Введение. Множества и операции над ними
- •Примеры числовых множеств, их стандартные обозначения
- •Пустое множество
- •Включение множеств
- •Равенство множеств
- •Операции над множествами
- •Эквивалентность множеств
- •Мощность множества
- •§ 1. Функция
- •Способы задания функции
- •Аналитический способ задания функции.
- •Табличный способ задания функции.
- •Графический способ задания функции.
- •График функции
- •Обратная функция
- •Основные элементарные функции
- •4) Тригонометрические функции.
- •5) Обратные тригонометрические функции.
- •Суперпозиция функций
- •Классификация функций
- •Задачи к § 1
- •§ 2. Бесконечно малые функции
- •Задачи к §2
- •§ 3. Свойства бесконечно малых функций
- •Задачи к §3
- •§ 4. Бесконечно большие функции
- •Задачи к §4
- •§ 5. Предел функции
- •Односторонние пределы
- •Свойства предела функции
- •Задачи к §5
- •§ 6. Теоремы о вычислении предела функции. Неопределенности
- •Задачи к §6
- •§ 7. Замечательные пределы
- •2) Число . Натуральные логарифмы
- •§ 8. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые
- •Вычисление пределов степенно-показательных функций
- •Задачи к §8
- •§ 9. Непрерывность функции
- •Второе определение непрерывности
- •Точки разрыва
- •Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке
- •Задачи к §9
- •Литература
- •Оглавление
Задачи к §6
Задача 1. Найти пределы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) ;
и) ;
к) ;
л) ;
м) ;
н) ;
о) ;
п) .
Указание. При решении примеров а), б), в) следует непосредственно использовать теоремы 6.1 и 6.2.
В примерах г), д) следует использовать определения бесконечно малой и бесконечно большой функций (определения 2.6 и 4.1) и теоремы 3.3, 3.4 и 4.1.
При раскрытии неопределенностей в последующих примерах следует использовать приемы I–IV.
Решение.
а) .
Ответ: .
б) .
Ответ: .
в)
.
Ответ: .
г) Величина при является бесконечно большой: ; . Непосредственно применить здесь теорему 6.1 невозможно. Используем определения 2.6 и 4.1 бесконечно малой и бесконечно большой функций.
Покажем, что. Действительно, выбирая произвольное , укажем для него . Если , то , тогда будет выполнено .
Покажем, что. Действительно, выберем произвольное и укажем для него (). Если , то , тогда .
Ответ: , .
д) Непосредственно применить теорему 6.2 нельзя, так как по теореме 6.1 получим . Поэтому будем использовать теорему 4.1. Поскольку и в окрестности точки , будем иметь
.
Ответ: .
е) Здесь возникает неопределенность типа . Воспользуемся правилом, сформулированным в замечании 6.4, получим
.
Ответ: .
ж) Имеем неопределенность типа . Разделим и числитель, и знаменатель на , получим:
.
Ответ: .
з) Здесь возникает неопределенность , так как , . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим их на общий множитель:
.
Ответ: .
и) Имеем неопределенность типа . Разложим числитель и знаменатель на множители, сократим их на общий множитель и воспользуемся теоремой 4.1. Получим
.
Ответ: .
к) Здесь возникает неопределенность типа . Домножим числитель и знаменатель на «сопряженное» к числителю иррациональное выражение, затем разложим числитель и знаменатель на множители и сократим их на общий множитель, получим:
.
Ответ: .
л) Имеем неопределенность типа . Домножим числитель и знаменатель на одинаковые иррациональные выражения так, чтобы в числителе появилась разность квадратов, а в знаменателе – разность кубов, затем разложим их на множители и сократим их на общий множитель. Получим
.
Ответ: .
м) Здесь следует рассмотреть два отдельных случая: и . Пусть , используя теорему 4.2, получим
.
Пусть , тогда имеет место неопределенность . Умножим и разделим исходное выражение на «сопряженное» выражение и воспользуемся теоремой 4.1. Получим
.
Ответ: искомый предел при не существует, существуют различные пределы при и при :,
.
н) Здесь возникает неопределенность типа . Приведем дроби к общему знаменателю, затем разложим числитель и знаменатель на множители и сократим их на общий множитель. Получим
.
Ответ: .
о) При вычислении предела аргумента синуса возникает неопределенность типа . Вычислим этот предел:
.
Тогда по теореме 6.1 получим:
.
Ответ: .
п) Здесь при вычислении предела аргумента логарифма возникает неопределенность типа . Вычислим этот предел:
.
По теореме 6.1 получим:
.
Ответ: .