9. Дифференциальные уравнения

9.1.  Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Модели экономической динамики с непрерывным временем.

9.2.  Дифференциальные уравнения первого порядка. Поле направлений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Общий интеграл.

9.3.  Основные классы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах (уравнения с разделяющимися переменными и приводимые к ним, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, линейные уравнения, уравнения Бернулли). Автономные уравнения и их свойства.

9.4.  Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

9.5.  Линейные дифференциальные уравнения. Пространство решений линейного однородного дифференциального уравнения. Фундаментальная система решений, связь с определителем Вронского. Связь между общими решениями однородного и неоднородного уравнения. Метод вариации постоянных.

9.6.  Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение и его связь с фундаментальной системой решений однородного уравнения. Неоднородные уравнения с правой частью специального вида.

9.7.  Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной системы. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.

9.8.  Системы линейных дифференциальных уравнений. Метод исключения неизвестных. Пространство решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем. Метод вариации постоянных.

9.9.  Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение и его связь с фундаментальной системой решений однородной системы.

9.10.  Понятие о дифференциальных уравнениях в частных производных. Линейное уравнение в частных производных первого порядка. Связь с характеристической системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами.

9.11.  Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Устойчивость решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

10. Разностные уравнения

10.1.  Экономические задачи, приводящие к разностным уравнениям. Модели экономической динамики с дискретным временем (паутинные модели рынка, модель Самуэльсона-Хикса).

10.2.  Разностные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

10.3.  Линейные разностные уравнения: однородные и неоднородные. Фундаментальная система решений однородного уравнения, связь с определителем Казоратти. Теорема об общем решении неоднородного уравнения.

10.4.  Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

10.5.  Системы разностных уравнений. Задача Коши для нормальной системы разностных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Системы линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.