Математика Содержание

1.Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1.1.  Арифметические векторы и линейные операции над ними (сложение, умножение на скаляр). Пространство Rⁿ. Геометрический смысл пространств R² и R³. Скалярное произведение векторов, его основные свойства. Неравенство Коши-Буняковского.

1.2.  Линейные векторные пространства общего вида. Линейная зависимость системы векторов и ее геометрический смысл. Коллинеарные и компланарные векторы. Размерность и базис линейного пространства. Подпространство линейного пространства. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису.

1.3.  Базис пространства Rⁿ. Ортогональный и ортонормированный базис в Rⁿ. Разложение векторов в ортогональном базисе. Процесс ортогонализации.

1.4.  Матрицы и действия с ними. Ранг матрицы.

1.5.  Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

1.6.  Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы системы. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем.

1.7.  Определители второго, третьего и п-го порядков, их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Применения определителей. Критерий существования ненулевого решения однородной системы с квадратной матрицей. Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Нахождение ориентированной площади параллелограмма и ориентированного объема параллелепипеда с помощью определителей.

1.8.  Обратная матрица и способы ее нахождения. Вырожденные и невырожденные квадратные матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение матричного уравнения АХ = В.

1.9.  Комплексные числа и действия с ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Корни n-той степени из комплексных чисел.

1.10.  Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные множители.

1.11.  Линейные преобразования и матрицы. Ядро и образ линейного преобразования. Теорема о размерности образа. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса. Сопряженное линейное преобразование и его матрица. Самосопряженные линейные преобразования и симметричные матрицы. Ортогональные матрицы.

1.12.  Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы. Их свойства. Характеристический многочлен.

1.13.  Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц. Теорема Фробениуса. Число и вектор Фробениуса. Их свойства.

1.14.  Продуктивность неотрицательных матриц. Связь продуктивности с числом Фробениуса и мультипликатором Леонтьева.

1.15.  Собственные значения и собственные векторы симметричных матриц. Приведение симметричной матрицы к диагональному виду.

1.16.  Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к главным осям.

1.17.  Понятие об аффинном пространстве Rⁿ. Прямая и гиперплоскость в пространстве Rⁿ. Угол между гиперплоскостями. Расстояние от точки до гиперплоскости. Прямая на плоскости R² и в пространстве R³. Прямая, отрезок, луч в Rⁿ. Плоскость в R³; различные формы уравнений плоскости.

1.18.  Выпуклые множества в пространстве Rⁿ. Полупространства, выпуклые многогранные области. Системы линейных неравенств и их геометрический смысл. Угловые точки выпуклых многогранных областей. Выпуклая оболочка системы точек в Rⁿ. Экстремальные значения линейной функции на выпуклой многогранной области.

1.19.  Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения. Классификация кривых второго порядка. Понятие о поверхностях второго порядка.