2.9. Сложение случайной и систематической погрешностей. Полная погрешность измерения

Пусть результаты наблюдений наряду со случайной содержат и систематическую приборную погрешность , которую можно считать по­стоянной в течение времени проведения измерения, так как характе­ристики прибора за это время не успевают заметно измениться. Наблюдаемые в опыте результаты наблюдений будут при этом равны x_i = x_i + . Наличие постоянной погрешности, вносимой прибором в результаты наблюдений, приводит к смещению выборочного среднего

,

однако совершенно не влияет на случайную погрешность результата измерения , или x = _P, N R, так как разности, на основе которых рассчитываются СКО : , а также размах выборки не зависят от .

Смещение среднего значения и доверительного интервала может привести к тому, что истинное значение x₀ из­меряемой величины окажется за пределами найденного доверительного интервала , как это показано на рис. 2.4. Чтобы этого не произошло, необходимо расширить доверительный интервал на величину верхней границы возможных значений погрешностей прибора . В этом случае и результат измерения можно записать в виде , где назовём полной погрешностью результата измерения. Новый доверительный интервал обязательно накроет истинное значение x₀, так как _x  || (рис. 2.4). Отметим, что доверительная вероятность, соответствующая найденному таким образом доверительному интервалу, будет превышать доверительную вероятность, используемую для нахождения случайной составляющей погрешности измерения.

Указанный способ суммирования погрешностей дает максимальную верхнюю границу полной погрешности результата измерения. Однако маловероятно, что в данном эксперименте полная погрешность примет своё максимальное значение. Учитывая, что, как правило, на практике приборная погрешность как отдельного прибора (погрешности квантования и шкалы прибора), так и в серии приборов изменяется нерегулярным образом, оставаясь в границах ±_x, полная погрешность результата измерения с учетом неизвестности величины и знака _x лежит в пределах .

Сопоставляя приведенное выражение с неравенством треугольника , можно заключить, что в качестве разумной оценки полной погрешности результата измерения можно выбрать величину

. (2.16)

Строгое рассмотрение суммирования случайной и приборной погрешностей основано на построении совместной функции плотности распределения вероятности . Будем считать, что в интервале (–_x, _x) все возможные зна­чения приборной погрешности равновероятны, т. е. приборная погреш­ность распределена равномерно. Тогда совместная функция распределения представляет собой свертку нормального (или распределения Стьюдента для конечного числа наблюдений N) и равномерного законов распределения:

.

Проводя вывод аналогично разд. 2.5, можно построить доверительный интервал для совместной функции распределения случайной и приборной погрешностей. Полученное выражение для полной погрешности результата измерения хорошо (с точностью до 5 %) аппроксимируется формулой (2.16).

В ГОСТ 16263–76 для определения границы доверительного интервала предложена формула

(2.17)

где k зависит от доверитель­ной вероятности и числа наблюдений в выборке (для Р = 95 % 0.7  k  0.8). Выражение (2.17) приводит как к более громоздким расчетным соотношениям, так и к большим ошибкам при определении погрешностей (до 15 %). Учитывая это, рекомендуется оценивать границы доверительного интервала по формуле (2.16).

Итоговая запись результата измерения будет иметь вид

с вероятностью ,

где P₀ – вероятность определения случайной составляющей погрешности измерения.