2.2. Случайная величина. Генеральная совокупность и выборка

Пусть некоторая величина X в ряде испытаний может принимать различные числовые значения. Если значение величины Х в каждом данном испытании не может быть указано заранее (непред­сказуемо), то величина Х называется случайной величиной.

Если случайная величина может принимать бесконечное множе­ство значений, причем эти значения могут быть сколь угодно близ­ки друг к другу, то такая величина называется непрерывной случай­ной величиной. Если же случайная величина может принимать лишь дискретные значения, то она называ­ется дискретной случайной величиной.

Факт при­нятия величиной заранее заданного значения для дискретной случайной величины или попадания в задан­ный интервал для непрерывной случай­ной величины в конкретном испытании является случайным событием, происходящим с определенной вероятностью.

Охарактеризовать случайную величину можно при помощи закона распределения. Под законом распределения случайной величины понимается со­ответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями принятия этих значений. Это соответствие может быть задано в виде таблицы, графика или мате­матической формулы.

В основе любых измерений лежат прямые измерения, в ходе ко­торых находят некоторое числовое значение физической величины. Каждая отдельная измерительная операция (отсчет, замер) называется наблюдением, а получаемое при этом значение физической величины – результатом наблюдения. В связи с тем, что результат отдельного наблюдения включает в себя неизвестные погрешности, для решения поставленной выше задачи нахождения оценки значения физической величины в процессе измерения проводят серию наблюдений. Получаемые в серии результаты наблюдений подвержены как систематическим, так и случайным отклонениям от истинного значения физической величины. Такие заранее непред­сказуемые в каждом данном наблюдении результаты представляют собой случайную величину. Многократное повторное проведение опыта позволяет установить статистические закономерности, которым удовлетворяет данная случайная величина, и найти результат измерения.

При каждом наблюдении мы получаем некоторое возможное значение фи­зической величины. Всё множество значений, которые измеряемая величина может принимать в эксперименте, называется генеральной совокупностью. Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Большинство физических величин имеют непрерыв­ный набор возможных значений, множество которых является беско­нечным. Говорят, что такие величины имеют генеральную совокуп­ность бесконечного объёма.

Генеральная совокупность несет полную информацию об измеряе­мой величине и позволяет (в отсутствие систематичес­ких погрешностей), несмотря на случайный характер результатов от­дельных наблюдений, найти истинное значение x₀ физической величи­ны. В случае физической величины с непрерывным набором значений для нахождения истинного значения необходимо провести бесконеч­ное число наблюдений, что невозможно. Поэтому на практике ограни­чиваются конечным числом наблюдений (от единиц до нескольких десятков). Полученный при этом ряд значений физической величины: x₁, x₂, ..., x_N называют выборкой из генеральной совокупности или про­сто выборкой. Число N результатов наблюдений в выборке называют объёмом выборки.

Результаты наблюдений, входящие в выборку, можно упорядо­чить, т. е. расположить их в порядке возрастания или убывания: x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_N . Полученную выборку называют упорядоченной или ранжированной. Величина R = x_mах – x_min называется размахом выборки.