2.4 Модели авторегрессии

Наличие автокорреляции означает, что значения зависимой переменной в один период времени линейно связаны со значениями зависимой переменной в другой период. Поэтому одним из путей решения проблемы серийной корреляции является модель, где эта линейная связь записана непосредственно. В рамках регрессии это можно сделать, если зависимую переменную, взятую с запаздыванием на один или больше периодов, рассматривать в качестве независимой переменной. Регрессионные модели, сформулированные таким образом, называются моделями авторегрессии. Модель авторегрессии первого порядка записывается в виде:

где предполагается, что ошибки удовлетворяют обычным предположениям регрессионной модели. Вычислив параметры этой модели методом наименьших квадратов, получаем уравнения для прогноза:

Модели авторегрессии - это часть множества обобщенных авторегрессионных моделей скользящего среднего (ARIMA).

В этом случае нельзя использовать критерий Дарбина-Уотсона. Если предыдущие значения зависимой переменной включены в уравнение в качестве независимой переменной, величина статистики Дарбина-Уотсона будет "притягиваться" к 2. Вместо этого критерия для проверки наличия серийной корреляции можно использовать значение h-статистики Дарбина-Уотсона.

Когда регрессионный анализ применяется для данных временных рядов, остатки часто автокорреллируют. Для описания этой ситуации иногда используется термин серийная корреляция. Величина для регрессии с данными, имеющими серийную корреляцию, будет искусственно завышена, тогда как значения стандартных ошибок коэффициентов регрессии могут быть существенно занижены, а соответствующее значение статистики t преувеличено.

Одной из возможных причин автокорреляции остатков является пропуск одной или более важных независимых переменных. Этот пропуск обычно означает, что значительная часть вариации зависимой переменной остается необъясненной. Для решения этой проблемы можно попытаться найти пропущенную переменную (переменные) и включить ее (их) в модель. Другие возможные решения - рассмотреть регрессионные модели с разностями данных или модели авторегрессии.

2.5 Данные временных рядов и проблема гетероскедастичности

В некоторых временных рядах изменчивость данных имеет тенденцию к увеличению с течением времени. Изменчивость может увеличиваться, если переменная постоянно возрастает. Изменчивость, не являющаяся постоянной, называется гетероскедастичностью.

В регрессионных моделях гетероскедастичность появляется в тех случаях, когда дисперсия слагаемого ошибки не постоянна. Если изменчивость в текущие периоды времени больше, чем она была в предыдущие периоды, то стандартная ошибка оценки меньше текущего стандартного отклонения слагаемого ошибки. Если стандартное отклонение оценки затем используется для прогноза границ будущих значений, эти границы окажутся слишком малыми при установленном уровне значимости.

Иногда проблема гетероскедастичности может быть решена с помощью простых преобразований данных. Например, в случае двух переменных для уменьшения гетероскедастичности можно использовать логарифмическую линейную модель. Кроме того, если переменные выражены в денежных единицах, устранить проблему возрастания изменчивости ошибок можно посредством преобразования текущих денежных единиц в неизменные денежные единицы (дефлирование).