Пряма в просторі
1.Найбільш
поширеним рівнянням прямої в просторі
є канонічне рівняння прямої, тобто
рівняння прямої через напрямний
(m;n;p)
і відому точку M0(x0;y0;z0).
На прямій l
візьмемо точку M(x;y;z)
і розпишемо
:
(x-
x0;y-
y0;z-
z0);
колінеарний
:
;(1)
– канонічне рівняння прямої через
вектор і точку.
2.Відношення в рівності (1) позначимо через t:
=t;
=t;
=t;
=>
;
(2)- параметричне
рівняння прямої.
3.Рівняння прямої через дві точки.
M(x;y;z) єl; M1(x1;y1;z1) єl; M2(x2;y2;z2) єl;
Нехай пряма в просторі проходить через ці точки.
l Розглянемо два вектори
(x-x1;y-y1;z-z1);
M2
(x2-x1;y2-y1;z2-z1);
M Ці вектори колінеарні.
M1
;(3)
4.Загальне рівняння прямої.
Загальне рівняння прямої в просторі задається, як перетин двох площин.
Рівняння площин:
(4)
Подамо рівняння (4) у канонічному вигляді. Для цього треба на даній прямій мати відому точку і координати напрямного вектора до цієї прямої.
;
(m;n;p);
M0(x0;y0;z0).
За напрямний вектор візьмемо вектор який є векторним добутком векторів
=
,
Розв’язавши систему (4) отримаємо сукупність безлічі розв’язків, що лежать на даній прямій. При конкретному значенні вільної змінної одержимо точку, що лежить на прямій.
Наприклад :
Записати рівняння прямої в канонічному вигляді.
=
=
=
2
+2
+
+4
-
+
=3
+
+5
=(3;1;5);
Розв’яжемо систему рівнянь. Нехай Z вільна змінна.
Δ=
=1+4=5;
ΔX=
=z+2z+2=3z+2;
ΔY=
=-z-1+2z=z-1;
;zєR;
Візьмемо точку з даної сукупності при z=1;
;
M0(1;0;1);
Отже
отримаємо канонічне рівняння прямої
Кут між прямими в просторі
Нехай прямі в просторі задані канонічно. Знайдемо кут між ними і вияснимо умови ║і ┴ прямих.
l1:
l2:
cos
φ=
l1┴l2
, якщо
┴
;
=0
=> m1m2+n1n2+p1p2=0;
l1
║ l2
,
якщо
║
;
=>
Взаємне розміщення прямої та площини в просторі
1.Перетин прямої і площини.
Нехай пряма задана канонічно, а площина – загальними рівняннями:
α:
;
l:
Знайдемо їх перетин. Розв’яжемо систему:
Канонічне рівняння запишемо в параметричному вигляді:
;A(x0+mt)+B(y0+nt)+C(z0+pt)+D=0;
Звідси знаходимо параметр t. Підставивши його в x,y,z одержимо координати точки перетину.
2.Кут між прямою і площиною.
Нехай площина задана загальним рівнянням, а пряма канонічно.
α:
Ax+By+Cz+D=0;
(A,B,C);
l:
;
(m,n,p);
l
β φ
α
(
)=β;
(l, α)=φ;
β + φ =900; β=900- φ; cos β=cos(900- φ)=sin φ;
cos
β=
;
sin
φ=
=
;
3.Умови
║ та
прямої і площини.
l1
α;
=>
║
;
=>
l1║
α;
=>
┴
=>n
S=0;
=>
Am+Bn+Cp=0;