- •Лінійна алгебра та аналітична геометрія
- •I Елементи лінійної алгебри
- •Визначники, їх обчислення та властивості
- •Визначником 3-го порядку – називається число, яке ставиться у відповідність матриці розмірами (3х3) за таким законом:
- •Дослідження систем за допомогою рангів
- •Іі Елементи векторної алгебри
- •Базис. Прямокутна система координат.
- •Розклад вектора за базисними векторами.
- •Лінійні операції над векторами заданими координатами.
- •Напрямні косинуси вектора
- •Скалярний добуток векторів
- •Скалярний добуток в координатах
- •Застосування скалярного добутку
- •Векторний добуток векторів
- •Властивості векторного добутку
- •Векторний добуток в координатах
- •Застосування векторного добутку
- •Мішаний добуток векторів
- •Мішаний добуток в координатах
- •Застосування мішаного добутку
- •III Аналітична геометрія
- •Дослідження загального рівняння
- •Площина
- •1.Рівняння площини через нормальний вектор і точку.
- •2.Загальне рівняння площини.
- •6.Умови паралельності та перпендикулярності площин.
- •Пряма в просторі
- •4.Загальне рівняння прямої.
- •Кут між прямими в просторі
- •Взаємне розміщення прямої та площини в просторі
- •Лінії другого порядку.
- •4. Парабола
- •Поверхні другого порядку
Дослідження загального рівняння
Загальне рівняння називається повним, якщо всі його коефіцієнти А, В, С відмінні від нуля. Якщо хоча б один з коефіцієнтів дорівнює нулю, рівняння називається неповним.
Розглянемо всі можливі види неповних рівнянь:
Ax+By-Ax0-By0=0, Ax0-By0=c
Ax+By+ c=0 (2)- загальне рівняння прямої на площині, де А,В- координати нормального вектора до прямої, с-вільний член, х,у- змінні.
3. Дослідження загального рівняння.
-
Якщо в рівнянні (2) с=0, а і в≠0, то пряма проходить через початок координат.
-
Якщо А=0, в і с ≠0, то пряма l ║осі 0Х.
-
Якщо А=0, с=0, то і у=0 – рівняння осі 0Х.
-
Якщо В=0, то пряма l ║осі 0Y.
-
Якщо В=0, с=0, то і x=0 – рівняння осі 0Y.
4. Рівняння прямої через напрямний вектор і точку.
Любий вектор ║до прямої називається – напрямним .
Знайдемо рівняння прямої що проходить через т.M0 (x0,y0) ║(m,n).
l
M0 M(x;у)
На прямій беремо біжучу точку М з координатами (х; у).
Розглянемо (х-х0;у-у0).
М0М ║- колінеарні.
(3) - канонічне рівняння прямої.
Наприклад: Написати рівняння прямої, що проходить через т.M0 (2;-1) ║(0;3).
5.Параметричне рівняння прямої.
В рівності (3)відношення позначимо через t.
t , t
y=y0+mt (4) – параметричне рівняння прямої.
6.Рівняння прямої через 2 точки.
Нехай пряма l проходить через 2 точки : М1(х1;у1) і М2(х2;у2).
l
M1 M2
=12= (x2-x1;y2-y1)
Вектор М1М2 колінеарний прямій l і може грати роль вектора - напрямного вектора.
(5)- рівняння прямої через 2 точки.
7.Рівняння прямої у відрізках на осях координат.
Нехай пряма l від осі 0Х відсікає відрізочок а, від 0Y- в.
Y
l B
b A
0 X
Оскільки пряма перетинає осі, то знайдені точки перетину:
В(0;b), A(a;0)
Використаємо рівняння (5)
, ,
, (6)- рівняння прямої y відрізках на осях координат.
8. Рівняння прямої через кутовий коефіцієнт.
а) нехай пряма l проходить через т. M0(x0;y0) і має кутовий коефіцієнт з додатнім напрямком осі 0Х.
Кутовий коефіцієнт прямої - це tg кута нахилу прямої з додатнім напрямком осі 0Х.
tgα=k,
M0(x0;y0), M(x;y).
З ΔМ0МN:tgk=tgα=tgα==>
y-y0=k(x-x0), (7)- рівняння прямої через кутовий коефіцієнт і точку.
Y l
M
y
y- y0
y0 M0
x- x0 N
0α x0 x X
б) З рівності (7) розкриємо дужки і знайдемо у. Величину у0-kx0 позначимо через b і отримаємо рівняння:
у=kx+b, (8) – рівняння прямої через кутовий коефіцієнт, де b – відрізок, відсікає пряма від осі 0Y.
Взаємне розміщення прямих на площині.
Нехай прямі l1 і l2 задані загальними рівняннями:
A1x+B1y+c1=0,
A2x+B2y+c2=0
1.l1║ l 2,
2. l1, l 2 – перетинаються,
3. l1, l 2 – співпадають.
Кут між прямими на площині.Умови ║та прямих.
Задані загальним рівнянням |
Задані канонічно |
Задані через кутовий коефіцієнт |
l1:A1x+b1y+c1=0, (A1;B1); l2:A2x+b2y+c2=0, (A2;B2);
n1 n2 l2 α cosα=
|
l1: 1 (m1;n1); l2: 2 (m2;n2);
cosα= = |
l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2,
α = β- γ tg α= tg(β- γ)= = tg α=
|
Умови паралельності прямих.
l1║ l2║, |
l1║ l2║, |
l1║ l2k2=k1 |
Умови перпендикулярності векторів.
l1┴l2=0, A1A2+B1B2=0 |
l1┴l2=0, m1m2+n1n2=0 |
l1┴l2k1k2=-1 |
Відстань від точки до прямої.
Знайдемо відстань т.М0(х0;у0) до прямої l, заданої рівнянням: Ax+By+c=0
l
M0
d
M
(A;B),
M(x;y),
d=M0M
Розглянемо вектор =(x-x0;y-y0)
т.М є l, =A(х-x0)+B(y-y0)=-Ax0-By0-c
Ax+By=-c
Розглянемо скалярний добуток за означенням цих векторів.
=cosφ=±d
d= - Відстань від точки до прямої.