- •Лінійна алгебра та аналітична геометрія
- •I Елементи лінійної алгебри
- •Визначники, їх обчислення та властивості
- •Визначником 3-го порядку – називається число, яке ставиться у відповідність матриці розмірами (3х3) за таким законом:
- •Дослідження систем за допомогою рангів
- •Іі Елементи векторної алгебри
- •Базис. Прямокутна система координат.
- •Розклад вектора за базисними векторами.
- •Лінійні операції над векторами заданими координатами.
- •Напрямні косинуси вектора
- •Скалярний добуток векторів
- •Скалярний добуток в координатах
- •Застосування скалярного добутку
- •Векторний добуток векторів
- •Властивості векторного добутку
- •Векторний добуток в координатах
- •Застосування векторного добутку
- •Мішаний добуток векторів
- •Мішаний добуток в координатах
- •Застосування мішаного добутку
- •III Аналітична геометрія
- •Дослідження загального рівняння
- •Площина
- •1.Рівняння площини через нормальний вектор і точку.
- •2.Загальне рівняння площини.
- •6.Умови паралельності та перпендикулярності площин.
- •Пряма в просторі
- •4.Загальне рівняння прямої.
- •Кут між прямими в просторі
- •Взаємне розміщення прямої та площини в просторі
- •Лінії другого порядку.
- •4. Парабола
- •Поверхні другого порядку
Дослідження систем за допомогою рангів
Мінором k-го порядку називається визначник, утворений з k рядків і k стовпчиків даної матриці.
Наприклад: знайти мінори матриці
Найвищий порядок мінора, відмінного від нуля, називається рангом матриці r(A)=3.
Розглянемо систему рівнянь (1) для якої матриця А – це матриця задана з коефіцієнтів при невідомих, а матриця - розширена матриця до матриці А, яка складається з коефіцієнтів при невідомих та вільних членів.
1). Теорема Кронекера-Капеллі: якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює числу невідомих, r(A)=r()=n, то система має єдиний розв’язок.
2). Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриці r(A) r(). ,то система не має розв’язку:
3). Якщо ранг А дорівнює рангу розширеної , але менше числа невідомих, r(A)=r() < n
то система має безліч розв’язків.
Іі Елементи векторної алгебри
Предметом вивчення цього розділу вищої математики є вектори, дії над ними та їх застосування.
Вектор – напрямний відрізок.
Вектор позначається однієї малою буквою латинського алфавіту із стрілкою зверху або символом , де т. А – початок, а т. В – кінець вектора.
Довжиною або модулем вектора називається довжина відрізка АВ. Позначається вона символом ..
Вектор називають нульовим, якщо початок і кінець його збігаються. Позначають нульовий вектор символом .
Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним. Такий вектор позначається
Вектори, що мають одинакові напрямки, називають співнапрямленими, а вектори, що мають протилежні напрямки – протилежнонапрямленими.
Вектори, що лежать в паралельних площинах, або в одній площини називаються компланарними.
Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій.
Два вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, співнаправлені і мають однакову довжину.
Два колінеарні вектори, Які мають однакову довжину і протилежно напрямлені, називаються взаємно протилежними.
Над векторами можна виконувати лінійні операції : додавати, віднімати, множити вектор на число.
Якщо вектори задані направленими відрізками то : сумою двох векторів і , відкладених послідовно, є вектор . Який сполучає початок першого з кінцем другого. Правило суми двох векторів узагальнюються на суму кількох векторів
Геометрично вектори можна додавати за правилом трикутника або паралелограма:
а) правило трикутника; б)правило паралелограма
+= +=
Різницею двох векторів і називається такий вектор , який в сумі з вектором дає вектор :
,
Різницею двох векторів і , що виходять з однієї точки, є вектор, який сполучає кінці цих векторів і направлений в сторону того вектора, від якого віднімаємо:
Геометрично різницю векторів можна знаходити за правилом паралелограма:
Добутком вектора на число є вектор, співнаправний з вектором , якщо - число додатне, протилежно направлений з вектором , якщо - від’ємне число. Модуль даного вектора дорівнює , причому якщо , то довжина вектора зменшується, а якщо ,то довжина вектора збільшується.
Операції додавання і множення вектора на число мають такі властивості:
-
; 5. ;
-
(; 6. ;
-
; 7. (;
-
; 8. 1.