Базис. Прямокутна система координат.

Базисом на площині називається будь-яка впорядкована пара не колінеарних векторів. За декартовий прямокутний базис на площині прийнято два одиничні взаємно перпендикулярні вектори , що виходять з одного початку. Дві взаємно перпендикулярні осі на площині, напрямки яких збігаються з напрямками базисних векторів , які мають спільний початок О, називаються осями координат. Першу із вказаних осей називають віссю абсцис (або віссю ОХ), а другу – віссю ординат (або віссю ОУ).

Якщо точка М в базисі має координати х та у, то перша координата називається абсцисою, а друга – ординатою. Той факт, що точка М має координати х і у, символічно позначається так: М(х,у).

Базисом в просторі називається будь-яка впорядкована трійка некомпланарних векторів. Сукупність точки О і базису називається декартовою прямокутною системою координат. Три взаємно перпендикулярні осі в просторі напрямки яких збігаються з напрямками базисних векторів і які мають спільний початок О, називаються осями координат. Першу із вказаних осей називають віссю абсцис (або віссю ОХ), а другу – віссю ординат (або віссю ОУ), третю – віссю аплікат (або віссю ОZ).

Якщо точка М в базисі має координати х, у, z, то перша координата називається абсцисою, а друга – ординатою, а третя - аплікатою. Те, що точка М має координати х, у, z символічно позначається так: М(х,у,z).

Якщо у прямокутній системі координат вектор задається двома точками та , то координати вектора .

Розклад вектора за базисними векторами.

Розглянемо вектор , початок якого знаходиться у початку системи координат. Нехай проекція , , .

За правилом додавання векторів маємо: .

Вектори колінеарні відповідно векторам .

Тому , . Отже : =(а_х; а_у; а_z) (1)

Співвідношення (1) називається розкладом вектора по базисним векторам ; (а_х; а_у; а_z) – координати або проекції вектора на координатні осі.

Вектор являється діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, побудованого на векторах . Тому .

Лінійні операції над векторами заданими координатами.

Нехай вектори та задані координатами, .

Оскільки проекція суми векторів дорівнює сумі проекцій, то, а добуток вектора на рівний: .

Отже, при додаванні векторів їх відповідні координати додаються, а при множенні на число їх координати множаться на це число, тобто, які лінійні операції роблять над векторами, такі й над їх відповідними координатами. Наприклад, знайти координати вектора , якщо .

=( )=( 4; -6; -17 ).

Напрямні косинуси вектора

Нехай вектор утворює з координатними осями кути α, β, γ.

a_z

a_y

a_x

Косинуси кутів, які утворює вектор з осями координат, називаються його напрямними косинусами. Так як

, , , то

; ; причому