4. Парабола

Параболою називається геометричне місце точок площини, відстань яких до фіксованої точки – фокуса, дорівнює відстані до заданої прямої – директриси.

Нехай відстань від фокуса до директриси дорівнює Р. Систему координат розмістимо так, щоб ця відстань ділилася точкою О пополам, а директриса була перпендикулярною до осі ОХ.

Візьмемо точку з довільними координатами М(х,у) на параболі. За означенням параболи МF=МК. Так як МК=х+, МF=, то маємо = х +.

Піднесемо обидві частини отриманої рівності до квадрату. Отримаємо:

(х+)²=, або після спрощення у²=2рх (1)

Рівняння (1) визначає параболу, симетричну відносно осі ОУ, з вершиною в початку координат.Якщо парабола симетрична відносно ОУ, а вершина міститься в початку координат, то її рівняння має вигляд х²=2ру (2).

Зауваження: Якщо в рівностях (1), (2) коефіцієнт 2р додатній, то вітки параболи напрямлені в додатньому напрямку осі симетрії. Якщо ж коефіцієнт 2р від’ємний, то вітки параболи напрямлені в протилежному напрямку до осі симетрії.

Якщо парабола симетрична відносно прямої у=у₀, а вершина міститься в точці А(х₀,у₀), то її рівняння має вигляд:

(у-у₀)² = 2р(х-х₀) (3)

Якщо ж парабола симетрична відносно прямої х=х₀, а вершина міститься в точці А(х₀,у₀), то її рівняння має вигляд:

(х-х₀)²=2р(у-у₀) (4).

Поверхні другого порядку

Поверхнями другого порядку називають поверхні, які в заданій декартовій системі координат записуються алгебраїчними рівняннями другого степеня.

Обмежимось розглядом найпростіших (канонічних) рівнянь поверхонь другого роду і з’ясуємо питання про їх форму за допомогою головних перерізів.

Головними перерізами поверхні другого роду називаються лінії, утворені в результаті перетину поверхні координатними площинами симетрії х=0, у=0, z=0.

1. Сфера

Сферою називається поверхня, яка в прямокутній декартовій системі координат визначається рівнянням:

x²+y²+z²=R² (1) , де R – радіус сфери

Рівняння (1) є рівнянням сфери з центром в початку координат:

Головними перерізами сфери з площиною симетрії х=0, у=о, z=0 є кола.

2. Еліпсоїд.

Еліпсоїдом називається поверхня, яка в прямокутній декартовій системі координат визначається рівнянням: (2), де а, b, с – півосі.

3. Однопорожнинний гіперболоїд

Якщо гіперболу обертати навколо уявної осі, то отримаємо поверхню, яка називається одно порожнин­ним гіперболоїдом.

Якщо ця уявна вісь паралельна OZ, то рівняння канонічне має вигляд

Головними перерізами однопорожнинного гіперболоїда з площинами х=0, у=0 є гіперболи. Перерізом цієї поверхні площиною z=0 або z=h є еліпс

Двопорожниннний гіперболоїд

Двопоржнинний гіперболоїд – це поверхня. канонічне рівняння якої має вигляд: (4)

Лінії перерізу двопорожнинного гіперболоїда площинами z=h (>c)є еліпсами, а лінії перерізу площинами х=м, у=n є гіперболи.

Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд – це поверхня, канонічне рівняння якої має вигляд: , p>0, g>0 (5)

Лініями перерізу поверхні площиною z=h, є гіперболи. Лініями перерізу поверхні площинами х=м, у=n є параболи.

4. Еліптичний параболоїд.

Еліптичний параболоїд – це поверхня, канонічне рівняння якої має вигляд: , p>0, g>0 (6)

Координатні площини ХОУ, ХОZ є площинами симетрії поверхні. Площина z=0 має з поверхнею одну спільну точку О(0,0,0) – вершину параболоїда. Площина z=h (h>0) перетинає поверхню по еліпсу. Площини х=м, у=n перетинають поверхню по параболах.

Конус другого порядку

Конусом другого порядку називається поверхня, задана рівнянням:

Перерізами конуса площинами z=h є еліпси. Еліпс, який отримують при перерізі конуса площиною z=0 вироджується в точку. Лінії перерізу конуса площинами х=м чи у=n є гіперболи, які вироджуються в пару прямих, якщо м=0 чи n=0.

Циліндри другого порядку

Поверхня, утворена рухом прямої І паралельній самій собі вздовж лінії L називається циліндричною поверхнею. Пряма І називається твірною, а L – напрямною лінією циліндричної поверхні.

Циліндрами другого порядку називаються циліндричні поверхні, напрямними яких є лінії другого порядку. Якщо за напрямну лінію в площині z=0 взяти одну з кривих другого порядку:

(8) , (9) , у²=2рх (10) , то кожне з цих рівнянь, стосовно до просторової системи координат, зображатиме циліндр другого порядку з твірними, паралельними осі OZ. Перерізами такого циліндра площинами z=h відповідно будуть еліпси, гіперболи параболи. Такі циліндри відповідно називають еліптичними, гіперболічними, параболічними:

а) еліптичний циліндр

б) Гіперболічний циліндр

в) Параболічний циліндр

Приклад. Зобразити тіло, обмежене поверхнями х²+у²=4, z=0, x+y+z=6.

Рівняння х²+у²=4 визначає круговий циліндр з твірними паралельними осі ОZ, напрямна лінія якого коло х²+у²=2² радіусом R=2 лежить в площині XOY. Z=0 – координатна площина XOY.

x+y+z=6 або площина, яка відтинає від осей координат відрізки довжиною по шість одиниць. Зобразимо тіло в просторовій системі координат.

Підписано до друку

Формат 6084 1/16 обсяг др.арк.

Замовлення Тираж примірн.

Рівне УДУВГП, Соборна, 11.

2