- •Лінійна алгебра та аналітична геометрія
- •I Елементи лінійної алгебри
- •Визначники, їх обчислення та властивості
- •Визначником 3-го порядку – називається число, яке ставиться у відповідність матриці розмірами (3х3) за таким законом:
- •Дослідження систем за допомогою рангів
- •Іі Елементи векторної алгебри
- •Базис. Прямокутна система координат.
- •Розклад вектора за базисними векторами.
- •Лінійні операції над векторами заданими координатами.
- •Напрямні косинуси вектора
- •Скалярний добуток векторів
- •Скалярний добуток в координатах
- •Застосування скалярного добутку
- •Векторний добуток векторів
- •Властивості векторного добутку
- •Векторний добуток в координатах
- •Застосування векторного добутку
- •Мішаний добуток векторів
- •Мішаний добуток в координатах
- •Застосування мішаного добутку
- •III Аналітична геометрія
- •Дослідження загального рівняння
- •Площина
- •1.Рівняння площини через нормальний вектор і точку.
- •2.Загальне рівняння площини.
- •6.Умови паралельності та перпендикулярності площин.
- •Пряма в просторі
- •4.Загальне рівняння прямої.
- •Кут між прямими в просторі
- •Взаємне розміщення прямої та площини в просторі
- •Лінії другого порядку.
- •4. Парабола
- •Поверхні другого порядку
Застосування векторного добутку
-
Момент сили .
-
Перевіряється умова колінеарності векторів. Якщо , то вектори - колінеарні.
-
Кут між векторами .
-
Площа паралелограма дорівнює модулю векторного добутку .
-
Площа трикутника, побудованого на векторах як на сторонах .
Наприклад: Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах
(кв.од.)
Мішаний добуток векторів
Означення: Мішаним добутком трьох векторів називається векторний добуток двох перших векторів помножений на третій скалярно: =().
Результатом мішаного добутку є число додатне, якщо трійка векторів права або від’ємне, якщо трійка векторів ліва.
Геометричний зміст мішаного добутку.
Отже, геометричний зміст мішаного добутку це - об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах, як на ребрах.
Властивості мішаного добутку
-
Якщо в мішаному добутку поміняти місцями будь-які два вектори, то його знак змінюється на протилежний .
-
Знаки операцій векторного та скалярного добутку можна міняти місцями =()=.
-
Скалярний множник можна виносити за знак мішаного добутку =.
Мішаний добуток в координатах
Нехай вектори задані координатами:
, , .
Знайдемо: .
За означенням =().
, то
,
Отже, мішаний добуток в координатах дорівнює:
.
Застосування мішаного добутку
-
Об’єм паралелепіпеда побудованого на векторах, як на ребрах =.
-
Об’єм піраміди .
-
Умова компланарності векторів: Якщо =0, то вектори компланарні.
III Аналітична геометрія
Аналітична геометрія – це розділ вищої математики, який вивчає точки, лінії, поверхні, тіла за допомогою методу координат. Метод координат полягає: кожна точка в системі координат характеризується своїми координатами. Лінії, поверхні, тіла розглядають як множину точок, що мають певну спільну властивість. Ця властивість називається алгебраїчним рівнянням лінії, поверхні, тіла і т. д.
Наприклад: Ах+Ву+С=0 – алгебраїчне рівняння першого степеня, що визначає пряму на площині;
- алгебраїчне рівняння другого порядку, що визначає на площині коло, а в просторі – круговий циліндр, твірні якого паралельні .
Скласти рівняння лінії (поверхні і т. д.) означає координати довільної точки , зв’язати аналітично з даними, що належить лінії поверхні і т.д.
Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
До найпростіших задач аналітичної геометрії належать: відстань між двома точками, поділ відрізка в даному відношенні, паралельний перенос системи координат
-
Відстань між двома точками.
Нехай відомі координати точок та : , .
Розглянемо вектор .
Відстань між точками рівна довжині вектора .
Отже, ==.
-
Поділ відрізка в даному відношенні.
Нехай відрізок ділиться т. М у відношенні : .
Якщо відомі координати точок М1 та М2 , то знайдемо . Координати точки М(х,у,z).
Вектори колінеарні, тому:
Звідки випливає:
Якщо , то відрізок М1 М2 ділиться точкою М пополам, тоді:
.