- •Sommaire
- •1. Activités géométriques
- •1. 1 Point, segment, demi-droite, droite
- •Exercices
- •1. 2 Angles
- •Exercices
- •1.3 Triangles
- •Exercices
- •1.4 Angles complémentaires, supplémentaires, opposés par le sommet.
- •Exercices
- •1.5 Révision
- •2. Puissances
- •2.1 Expressions littérales
- •Exercices
- •2. 2 La notation « puissance »
- •Exercices
- •2.3 Opérations sur les puissances
- •Exercices
- •2.4 Écriture scientifique
- •Exercices
- •2.5 Révision
- •3. Transformations d’écritures litterales
- •3.1 Suppression de parenthèses
- •Exercices
- •3.2 Développement
- •Exercices
- •3.3 Identités remarquables
- •Exercices
- •3.4 Factorisation
- •Exercices
- •3.5 Révision
- •4. Systèmes de deux équations à deux inconnues
- •4.1 Équation du premier degré à deux inconnues
- •Exercices
- •4.2 Systèmes de deux équations à deux inconnues
- •4) Méthode graphique
- •Exercices
- •4.3 Problèmes
- •Exercices
- •4.4 Révision
4) Méthode graphique
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En expriment y en fonction de x dans les deux équations, on obtient un nouveau système qui a les mêmes solutions que le système de départ.
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On représente graphiquement les deux droites en marquant deux points pour chacune.
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Le couple de coordonnées du point d’intersection des deux droites est la solution du système.
Par exemple:
Résoudre graphiquement le système
y
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En exprimant y en fonction de x dans les deux équations, on obtient le système
x
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Dans le plan muni d’un repère, les couples solutions de la première équation sont représentés par la droite (d) d’équation
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Les couples solutions de la deuxième équation sont représentés par la droite () d’équation
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Le point M est à la fois sur les deux droites, donc ses coordonnées (9 ; 2) vérifient à la fois les deux équations. Le couple (9 ; 2) est solution du système.
Remarques
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Cette solution n’est qu’approchée. Par le calcul, on trouve le couple solution exact.
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Les droites sont sécantes. Il n’y a donc pas d’autres solutions.
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Les droites sont parallèles. Ce système n’a pas de solution.
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Les droites sont confondues. Ce système a une infinité de solutions.
5) Méthode de combinaison
Pour résoudre par combinaison un système de deux équations à deux inconnues,
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on choisit l’inconnue que l’on va « faire disparaître » ;
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on multiplie chaque membre par un nombre de façon qu’en ajoutant les équations obtenues l’inconnue choisie « disparaisse » ;
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on résout l’équation à une inconnue obtenue ;
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on achève la résolution du système.
Par exemple: Résoudre par combinaison le système
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On choisit l’inconnue que l’on souhaite « faire disparaître » : ici l’inconnue x par example.
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On multiplie chaque membre de la première équation par le nombre 3, puis on multiplie chaque membre la deuxième équation par le nombre – 4. On obtient :
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On ajoute membre à membre la première équation et la deuxième équation. On obtient une équation dont la seul inconnue est y.
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On remplace y par dans la première équation (ou dans la deuxième ) pour obtenir la valeur de x.
Le couple est la seule solution du système.
Remarque
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On repère les coefficients d’une des deux inconnues, puis on détermine un de leurs multiples communs non nuls.
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Dans les deux méthodes (substitution et combinaison ), le principe est d’éliminer une des deux inconnues pour se ramener à résoudre des équations à une seule inconnue.
6) Méthode de substitution
Pour résoudre par substitution un système de deux équations à deux inconnues x et y,
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on commence par choisir l’inconnue (x ou y) que l’on va exprimer en fonction de l’autre, et l’équation que l’on va utiliser pour faire cela ;
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on se ramène alors à une équation à une seule inconnue, que l’on résout ;
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on achève la résolution du système.
Par exemple:
Résoudre par substitution le système
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On exprime une inconnue en fonction de l’autre :
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On remplace alors x par 2 – 3y dans la deuxième équation:
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O n obtient ainsi une équation à une seule inconnue, y. On résout cette équation :
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On remplace y par dans la première équation. On trouve ainsi la valeur de x:
Le couple est la seule solution du système.
Remarque
La méthode de substitution est recommandée lorsque le coefficient d’une des inconnues est 1 ou – 1 car on peut facilement exprimer x en fonction de y ( ou y en fonction de x ) dans une des équations et reporter le résultat dans l’autre.