Сборник задач-Пономаренко ВН

ISBN 978-5-7883-0774-9

© Самарский государственный

аэрокосмический университет, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие...........................................................................................................................

4

§1. Элементы теории множеств. Метод математической индукции................................

5

§2. Функции действительного переменного.......................................................................

8

§3. Построение графиков функций....................................................................................

11

§4. Числовые последовательности и теория пределов....................................................

15

§5. Предел функции одной переменной............................................................................

19

§6. Непрерывность и точки разрыва функции..................................................................

26

§7. Дифференцирование функций.....................................................................................

28

§8. Производные и дифференциалы высших порядков ..................................................

34

§9. Приложения производной............................................................................................

36

§10. Правило Лопиталя.......................................................................................................

39

§11. Применение первой производной к исследованию функций.................................

44

§12. Применение второй производной к исследованию функций.................................

48

§13. Исследование функций и построение кривых..........................................................

50

§14. Простейшие приемы интегрирования.......................................................................

52

§15. Основные классы интегрируемых функций.............................................................

55

§16. Определенные интегралы...........................................................................................

60

§17. Вычисление площадей фигур.....................................................................................

63

§18. Вычисление длины дуги плоской фигуры................................................................

66

§19. Вычисление площадей поверхностей и объемов тел...............................................

68

§20. Несобственные интегралы..........................................................................................

71

§21. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов...........................

74

§22. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная

сходимость рядов........................................................................................................

80

§23. Функциональные и степенные ряды .........................................................................

82

§24. Степенные ряды и их применения.............................................................................

86

§25. Индивидуальные задания по теме «Пределы» .........................................................

90

§26. Индивидуальные задания по теме «Дифференцирование функций» ..................

101

§27. Индивидуальные задания по теме «Исследование и построение

графиков функций» ..................................................................................................

109

§28. Индивидуальные задания по теме «Неопределенный интеграл».........................

111

§29. Индивидуальные задания по теме «Определенный интеграл

и его приложения»....................................................................................................

117

§30. Индивидуальные задания по теме «Ряды» .............................................................

123

Список литературы............................................................................................................

129

{

}

M P =

x

x M и x P (дополнение множества М до множества Р).

венству x ≥ m ; 2) каково бы ни было

ε > 0 , существует x′ X такое, что

x′ < m + ε . Аналогично число M =sup{x}

называется верхней гранью множест-

1)

A \ B = A \ (A ∩ B)= (A B)\ B ;

2)

A \ (A \ B )= A ∩ B .

1.2. Докажите, что для любых множеств А, В и С справедливы равенства:

1)

(A \ B)\ C = A \ (B C );

2)

(A ∩ B)\ C = (A \ C )∩(B \ C );

3)

(A B)\ C = (A \ C ) (B \ C );

4)

A \ (B С)= (A \ B)∩(A \ С);

5)

C \ (A \ B)= (C \ A) (B ∩C );

6)

A \ (B ∩С)= (A \ B) (A \ С).

1)

x − 2

< 3 ;

< 2 ;

2)

x2 −5

> 2 ;

3)

x + 3

−

x +1

4)

;

x2 − 2x

> x2 − 2

x

5)

3x2 +6

x

−5 <1;

6)

3 − x

−2

≤ x −1.

1.6.

Даны

множества

A ={x : x2 −8x +15 < 0},

В={x :

x −3

≤ 4}

и

C =

{

x :

x −2

}

≥3 . Найдите следующие множества:

1)

(A B)∩

;

2)

B \ A ;

C

3)

(A B)\ C ;

4)

(

\ C) B .

A

1.7.

Даны

множества

A ={x : x2 − 4x + 5 ≤ 0},

B ={x :−6 ≤ x < 0}

и

C =

{

x

:

x −1

}

>2 . Найдите следующие множества:

1)

A ∩ B

;

;

C

2)

(A B)

3)

(B \ A) C ;

4)

(C A) B .

1.8.

Докажите, что число:

1)

11n+1 +122 n−1 делится на 133;

2)

5 23n+1 + 33n+2 делится на 19.

1)

1 + 2

+3

+…+ n =

n(n +1)

;

2)

12 +22 +…+n2 =

n(n +1)(2n +1)

;

2

6

3)

13 +…n3 =(1+ 2 +…+n)2 ;

4)

1 + 2 + 22 +… + 2n−1 = 2n −1 .

1)

n

<1 + 1 +

1

+…+

1

+

1

;

2)

1+

1

+…+

1

< 2 n ;

2

2

n

2

n

2

2 3

− 2

−1

n

3)

1

n

1

n+1

;

1

n

1

n+1

1

+

<

1+

4)

1−

< 1−

;

n

n +

n

n +1

1

1

n+1

1

n+2

n +1

n+1

5)

1

+

>

1

+

;

6)

< n!;

n +

n

1

4

7)

1

3

…

2n −1

<

1

;

n +1 n

2

4

2n

8)

n! <

.

2n +

1

2

1.11. Доказать, что

n N и

x > −1 справедливо неравенство (неравенство

Бернулли) (1+ x)n ≥1+nx .

1.12. Числа

fn = 22n +1

называются

числами

Ферма.

Докажите

равенство

n−1

∏ fk

= fn − 2 .

1.14. Докажите равенство

2 +

2 +... +

2

= 2cos

π

(в левой части равен-

2

n+1

f (x)= x2 , 0 ≤ x ≤1,

x,

1< x ≤ 2.

Найти значения:

f (0),

f

1

,

f

3

, f (2), построить график данной

2

2

функции.

2.3. Дана функция

f (x)= sin x,

−1 < x < 0,

x2 ,

0 ≤ x ≤ 2.

Найти значения:

f (1),

f

−

π

,

f π

и f (0). Существует ли f (3)?

4

2

1)

y =1 −lg x ;

2)

y = 5 −2x ;

3)

y = lg(x +3);

4)

y = x2 −4x +3 ;

5)

y =

1

;

6)

y =

2x

;

x3

− x

x2 −3x +2

7)

y =

x

;

8)

y = arccos

1−2x

;

x2 −4x +

3

4

9)

y = arcsin(x − 2) ;

10) y = logx 2 ;

11) y = x

2

−3x

+ 2

+

1

;

12) y =

sin x +

16 − x2 .

2x − x2

1)

y =3 − x2 +2x4 ;

2)

y = x3 +3 ;

3)

y =

x −1

;

4)

y =

x2

+1

;

x2 +1

x2

−1

5)

y =

3

;

6)

y =ln

1− x

;

1+ x

x

7)

y = log2 x ;

8)

y = 2−x2 .

1)

y = cos

x

;

2)

y =sin

2x +1

;

2

2

3)

y = sin 3x ;

4)

y = 2cos

x

+3

;

2

5)

y = x cos x ;

6)

y = x −[x].

1) y = x ;

2) y = x2 .