Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач-Пономаренко ВН

.pdf

Скачиваний:

249

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

3.Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в различных системах координат:

а)

y = ln x,

3 ≤ x ≤

15 ;

а)

y =

1− x2

+ arcsin x, 0 ≤ x ≤ 7 9 ;

x =5

(

t −sin t

)

3(2cost

−

cos2t),

≤t ≤π ;

б)

0 ≤t ≤ 2π ;

y =5(1 −cost )

y =3(2sin t −sin 2t),

в) ρ =3e3ϕ 4 , −π 2 ≤ϕ ≤π 2.

в) ρ = 2e4ϕ 3 , −π 2 ≤ϕ ≤π 2 .

а)

y = −ln cos x,

0 ≤ x ≤ π

6 ;

а)

y = ex + 6, ln

8 ≤ x ≤ ln

15 ;

+t sin t ),

(

)

x = 4(cost

≤ t ≤ 2π ;

б)

t 2 − 2

sin t + 2t cos t,

≤ t ≤ π ;

б)

y = 4(sin t −t cost ),

= (2 − t 2 )cos t + 2t sin t,

в) ρ = 2 eϕ , −π 2 ≤ϕ ≤π 2 .

в) ρ =5e5ϕ 12 , −π 2 ≤ϕ ≤π 2 .

а)

y = ln

(

−

)

а)

y =

1− x2

+ arccos x, 0 ≤ x ≤8 9;

1 , 2 ≤ x ≤ 3;

(cost +sin t ),

x = e

x =10cos

≤ t

≤π 2 ;

б)

0 ≤ t ≤π ;

б)

= et

y =10sin3 t,

(cost −sin t ),

в) ρ =6e12ϕ 5 , −π 2 ≤ϕ ≤π 2 .

в) ρ =3e3ϕ 4 , 0 ≤ϕ ≤π 3.

а)

(

)

, 0 ≤ x ≤1 4 ;

а) y = 2 + ch x, 0 ≤ x ≤1;

y = ln 1 − x

x = 3

(t −sin t ),

x =3(cost +t sin t ),

,π ≤ t ≤ 2π ;

б) y =

3(sin t −t cost ),0 ≤t ≤π 3 ;

б) y = 3 1 −cost

)

(

в) ρ = 4e4ϕ 3, 0 ≤ϕ ≤π 3 .

в) ρ = 2 eϕ , 0 ≤ϕ ≤π 3 .

а)

y =1 − ln cos x, 0 ≤ x ≤ π 6 ;

а)

y = ex +13, ln

15 ≤ x ≤ ln

24 ;

x =

(t2

−2)sint +2tcost,

6cos

0 ≤t ≤π 3;

10.

б)

≤ t ≤π 3 ;

б)

(

−t2

)

y =

cost +2tsint,

= 6sin3 t,

в) ρ =5e5ϕ 12 , 0 ≤ϕ ≤π 3.

в)

ρ =12e12ϕ 5 , 0 ≤ϕ ≤π 3.

а)

y =−arccos

x +

x−x2 , 0≤x≤1 4;

а)

y = 2 −ex , ln

3 ≤ x ≤ ln

8 ;

(cost + sin t )

x = 2,5(t −sin t ),

11.

x = e

2 ≤ t ≤π ;

12.

б)

π 2 ≤ t ≤π ;

б)

y = et

(

cost −sin t

)

= 2,5(1 −cost ),

в) ρ =1 − sin ϕ,

− π

2 ≤ ϕ ≤ −π 6 .

в) ρ = 2

(1−cosϕ), −π ≤ϕ ≤ −π 2 .

120

	а) y =arcsinx− 1−x2 , 0≤x ≤15 16;							а)	y =1 − ln sin x, π 3 ≤ x ≤ π 2 ;
	x =3,5(		2cost −cos2t),						x = 6	(cost +t sin t ),
	x =3,5(		2cost −cos2t),			π
13.					, 0 ≤t ≤	π		14. б) y = 6		(sin t −t cost ),0 ≤t ≤π ;
13.	б) y =3,5	(	2sint −sin 2t	)	, 0 ≤t ≤	2	;	14. б) y = 6		(sin t −t cost ),0 ≤t ≤π ;
		(		)

	в) ρ =3(1+sinϕ), −π 6 ≤ϕ ≤0.							в)	ρ = 4(1−sinϕ), 0 ≤ϕ ≤π 6.

(

)

а)

y = ln sin x, π 3 ≤ x ≤ π

2 ;

а) y =1 −ln x −1 , 3 ≤ x ≤ 4 ;

(cost

+ sin t ),

8cos

x = e

15.

б)

x =

0 ≤ t ≤π

6 ;

16. б)

≤ t ≤ 2π ;

(cost

−sin t )

8sin

y = et

y =

в)

ρ =

5(1

−

cos

−π

≤ϕ ≤

0 .

в)

ρ =6 1+sinϕ

)

, −π 2 ≤ϕ ≤0 .

(

а)

y = ch x + 3, 0 ≤ x ≤1;

а)

y = ln cos x + 2, 0 ≤ x ≤ π

6 ;

x = 4(t −sin t ),

≤

б)

x = 2

(2cost −cos 2t),

≤t ≤π 3;

17.

б)

3 ;

18.

4(1 −cost ),

(2sin t

−sin 2t),

y =

y = 2

в) ρ = 7(1−sinϕ),

−π 6 ≤ϕ ≤π 6.

в) ρ =8(1−cosϕ), −2π 3 ≤ϕ ≤ 0 .

а)

y = ex + 26, ln

8 ≤ x ≤ ln

24 ;

а)

y = ex + e, ln

3 ≤ x ≤ ln

15 ;

x =8(cost +t sin t ),

≤

б)

x = et (cost +sin t )

≤

≤ π

;

19.

б)

4 ;

20.

y =8(sin t −t cost ),

y = et (cost −sin t )

в) ρ = 2ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 3 4 .

в) ρ = 2ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 4 3 .

4.Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями и образованных вращением фигур, ограниченных заданными функциями (в вариантах 1–10 ось вращения Ох, в вариантах 11–20 ось вращения Оу):

+ y

=1, z = y, z =0 (y ≥0);

а)

б) y = −x2 +5x −6, y =0 .

б)

а)

а) z = x2 + 4y2 , z = 2 ;

б)

y = 5cos x, y = cos x, x = 0, x ≥ 0 .

б)

а)

−

= −1, z =12

;

а)

б) x = 3 y −2, x =1, y =1.

б)

x2	+	y2	− z	2	=1, z =0, z =3;
9		4

y = 3sin x, y = sin x, 0 ≤ x ≤ π .

x2 + y2 = 9, z = y, z = 0(y ≥ 0);

y =sin2 x, x =π2, y =0 .

x2 + y2 + z2 =1, z =1, z =0.; 16 9 4

y = xex , y =0, x =1.

121

а) z = x2 +9y2 , z =3;

а) z = x2 +5y2 , z =5 ;

б) y = 2x − x2 , y = −x +2, x =0 .

б) y = 2x − x2 , y = −x +2 .

а)

+ y2

− z2 =1, z = 0, z =3;

−

= −

10.

а)

1, z

16 ;

б) x2 +(y −2)2 =1.

б) y = x3 , y = x .

а)

=1, z = 2, z =0 ;

а)

=1, z = y 3, z =0(y ≥0);

11.

12.

б) y = x2 , x = 2, y = 0 .

б) y = ln x, x = 2, y = 0 .

а)

− z2 =1, z = 0, z = 2;

а)

−

= −

12;

13.

14.

1, z

б)

y = x3 , y = x2 .

б) y = arcsin x, y = arccos x, y = 0 .

а)

=1, z =3, z =0 ;

а)

=1, z = y 3, z =0(y ≥0);

15.

16.

б) y = x2 −2x +1, x = 2, y =0 .

б) y = x3, y = x .

а)

=1, z = 4, z =0 ;

а)

−

= −1, z = 20 ;

17.

100

18.

б)

y = arccos x, y = arcsin x, x = 0 .

б)

y =(x −1)2 , x = 0, x = 2, y = 0 .

19.

а) z = 2x2 +18y2 , z =6 ;

20.

а) z = 2x2 +8y2 , z = 4 ;

б) y = arccos(x 3), y = arccos x, y = 0 .

б)

y2 = x −2, y =0, y = x3, y =1.

122

§30. Индивидуальные задания по теме «Ряды»

Найти сумму ряда:

∞

3n +8

∞

+ 4

1. ∑n=1 n(n +1)(n + 2) .

2. ∑n=1 n(n +1)(n + 2) .

∞

− n

∞

−1

∑n=1 (n + 3)(n +1)n .

4. ∑n=1 n(n +1)(n + 2) .

∞

− 2

5. ∑n=3 n(n −1)(n − 2).

6. ∑n=2 (n −1)n(n + 2).

∞

− n

∞

+ 9

7. ∑n=1 n(n +1)(n + 2) .

∑n=1 n(n +1)(n + 3).

∞

3n +1

∞

− 4

∑n=3 (n −1)n(n +1).

10.

∑n=3 n(n −1)(n − 2).

∞

− n

∞

3n −1

11.

∑n=1 n(n +1)(n + 3).

12.

∑n=3 n(n2 −1).

∞

8n −10

13.

∑n=2 n(n2 −1).

14.

∑n=3 (n −1)(n − 2)(n +1).

∞

− 2

∞

+ 5

∑

15.

∑n=3 (n −1)n(n +

16.

−1)(n + 2)

n=3

∞

+ 6

∞

+ 2

17.

∑n=1 n(n +1)(n + 2) .

18.

∑n=1 n(n +1)(n + 2) .

∞

− n

∞

19. ∑n=3 n(n +1)(n + 2) .

20. ∑n=1 (n + 2)(n +1)n .

2. Исследовать на сходимость ряды:

∞

n ;

∞

n n +1

а) ∑sin

б) ∑ln n2

+ 5

;

в) ∑

;

n=1

+ 4

n=2

(n −1)!

n 1

∞

−n

∞

2n +1

;

д) ∑

;

е) ∑(−1)

n+1

г) ∑

nln

(3n

+1)

n(n +1)

n=1

n +

n=2

n=1

∞

2 +(−1)n

;

б)

∞

(

n2 +3

)

;

∞

(n!)2

а) ∑nsin

∑

в) ∑

;

+ln

n 1

n=1

n 1

123

∞

1 n2

∞

n+1

г) ∑

1 +

;

д) ∑

nln

(2n +

;

е) ∑(−1)

n=1

2n +

∞

ln n

∞

1tg

в) ∑∞

n+1

+1)

а) ∑

;

б) ∑

;

3 7

n=1

(n +1)!

∞

(−1)

n+1

∞

г) ∑ 2n2

;

д) ∑

;

е) ∑

(2n +1)

ln (n +1)

n=1

(2n + 3)ln

n=2

∞

cos

(nπ 2)

∞

2n!

а) ∑

;

б)

∑

arctg

;

в) ∑10

;

+1 n + 2

−

(

)

(

)

n 1

)(

n=2

∞

(

−

г) ∑n

;

д) ∑

; е) ∑

)

(4n

−7)

3n +

n=1

n=3 (3n −5)ln

n=3

n(ln ln n)ln n

∞

2 +(−1)

∞

+3)

∞

(2n + 2)!

а) ∑

;

б)

;

в) ∑

;

n −ln n

∑n=1 n5 +ln4 n

3n + 5

n=1

∞

(−1)

∞

2n +1

г) ∑

;

д) ∑

;

е) ∑

(5n

+ 2)

− n

n=1

3n − 2

n=1 (3n + 4)ln

n=1

∞

n(2 + cos nπ )

∞

n3 + 2

∞

n +5

а) ∑

;

б)

∑

;

в) ∑

sin

;

−1

+ sin 2

n=1

∞

−1

2n + 2

(

)

г) ∑

(n +1)

;

д)

∑

1)ln

(n 5 + 2)

; е) ∑

+1 ln n

n=1 3n +1

n=1 (2n +

(

)

∞

+ cos n

∞

а) ∑sin2

;

б)

∑

;

в) ∑

;

+ sin n

n=1

3 n!

∞

4n −

∞

(−1)

г) ∑

;

д) ∑

;

е) ∑

(n − 2)ln (n −3)

n ln (n +1)

n=1

5n +1

n=5

n=3

∞

а) ∑ln n

+3n ;

б) ∑

;

в) ∑

;

n −cos

n=2

n2 − n

n=1

(2n)!

∞

(−1)

n+1

д) ∑

г) ∑

;

е) ∑

(2n −1)ln (2n)

n=1

10n + 5

n=1

2n +3

∞

−1)

а) ∑n cos3

;

б)

∑

sin

;

в) ∑∞

;

n=1

n + 5

n=1

n +1

n=1

∞

г) ∑narcsinn

;

д)

∑

;

е) ∑(−1)n cos

(n +1)ln (

2n)

n=1

124

∞

nln n

∞

а)

∑

;

б)

∑

arctg

;

в) ∑

;

(n + 2)!

10.

n=2

−3

n=1

∞

г)

∑

n + 2

;

д)

∑

;

е) ∑sin n .

(3n −1)ln n

n=1

3n −1

n=2

n=1

∞

ln n

∞

а)

∑n=1

;

б)

∑n=1

;

в) ∑

;

(n!)

n3 + n +1

n2 −ln n

11.

n=1

∞

n −1

∞

(

−1 n

д) ∑

)

г) ∑

;

е) ∑

(2n −1)ln (n +

n ln (2n)

n=1

n=2

n=3

∞

а)

∑sin

;

б)

∑

sin

;

в) ∑

;

n +5

−1

(2n −1)!

12.

n=1

n=2

n=1

2n + 3 n

∞

1 .

∞

г)

;

д) ∑

;

е) ∑(−1)n tg

∑

(2n −3)ln (3n +1)

n +1

n=2

n=1

n 1

∞

ln n

∞

а)

∑

;

б)

∑

arctg

;

в) ∑

;

(3n!)

n=1

+ n

n=1

13.

n 1

∞

3n + 2 n

∞

cos n

г) ∑

(n −1)

;

д) ∑n=2

;

е) ∑=

(n + 2)ln2 n

n=1

−1

n 1

∞

а)

∑

;

б)

∑

(e1

−1);

в) ∑1 3 n5...(2n −1)

;

ln n +

n +3

14.

n=3

n=1

3 (n +1)!

∞

n +1

∞

(−1)

n−1

г) ∑

;

д) ∑

;

е) ∑

(2n)

(n +1)2

n=2

2n − 3

n=2

(n + 3)ln

n=1

∞

3 +(−1)

∞

(n!)

а) ∑

;

б) ∑ln

;

в) ∑

;

(

)

n+2

n=1

n + n + 2

n=1

15.

1 (2n)!

2n+1

∞

(−1)n−1

∞

г) ∑

;

д) ∑

;

е) ∑

(2n + 3)ln

(n +1)

(n +1)(3 2)

n=1

n=2

n=1

∞

а) ∑

arctg 2 +(−1)

;

б)

∑

3 narctg

;

в) ∑n!sin

;

16.

n=1

ln (1 + n)

n=1

n 2

∞

2n −1

∞

2n −1

∞

д) ∑

г) ∑

;

е) ∑(−1)

nln (n −1)

n=1

n=3

n 1

125

∞

arcctg(−1)n

∞

(n +1)!

а) ∑

;

б) ∑n3tg5 π

;

в) ∑

;

n(2 + n

)

17.

n=1

n=3

n=1

∞

n+1

∞

д) ∑

(−1) (n + 3).

г) ∑

n ;

;

е) ∑

2n ln (

3n −1)

n=1

n=2

n=1

ln (n + 4)

∞

n +1

∞

n3 + 2

б) ∑

;

∞

5n 3 n2

а) ∑

;

(

n −1)

(

в)

∑

;

n=2

−1

(n +1)!

n sin

n=1

18.

n 1

)

∞

(−1)n n +1 .

г) ∑n2 sinn

;

д) ∑

;

е)

∑

(n − 2) ln (n −

n=5

n=1

n 1

∞

;

∞

nn! ;

а) ∑n cos3

;

б) ∑ 1−cos

в)

∑

19.

n=1

n −10

n=1

∞

(−1)

г) ∑

д) ∑

;

е)

∑n=0

(ln n)

(3n −1) ln (n − 2)

(2n +1)

22n+1

n=2

n=4

∞

(n +1)!

а) ∑

;

б) ∑sin

;

в)

∑

;

n=1

n + n

n=1

+ 2

(

)

20.

∞

(−1)

д) ∑

;

г) ∑

;

е) ∑

(

n=1 3n −1

n=2

−1 ln n

n=1 n

+sin

)

3. Найти область сходимости функционального ряда:

∞

(−1)n

∞

(−1)n 1− x

а) ∑

;

а) ∑

;

(x + n)

−1 5

2n −

+ x

n=1

∞

x2n sin

(x +πn).

б)

x4n sin (2x −πn).

б) ∑9

∑4

n=1

∞

а) ∑=

;

а) ∑n +n 1

(x2 − 4x + 6)n ;

n +1

(3x

+ 4x + 2)

n 1

n=1

∞

б) ∑

x4n cos (x +πn).

б)

∑

cos(x −πn).

n=1

∞

а) ∑n +3

а) ∑

;

+12x +2)

n=1

1 − x

n=1

n +1 (27x

∞

б) ∑

x4n sin (3x +πn).

б)

∑6

x2n sin (5x −πn).

n=1

126

∞

а) ∑ n2

n ;

а) ∑

2n ;

n=1

1 + x

n=1

n +1 (3x

+8x +

∞

б) ∑2n x3n sin x .

x .

б) ∑32n xn sin

n=1

∞

1+ x n

∞

(x2 − 6x +12)n

;

а) ∑

n +3

− x

;

а) ∑

(

n=1

n 1

10.

)

∞

б) ∑23n xn sin 2x .

3x .

б) ∑3n x3n sin

n=1

∞

(−1)n

а) ∑

2 x+1 ;

∞

3 ;

n=1 (

n +1)

а) ∑

(x + n)

11.

12.

n=1

x .

∞

3x .

∞

б) ∑8n x3ntg

б) ∑3n xntg

n=1

∞

3(−1)

∞

(

x2 −5x +11 n

а) ∑

;

а) ∑

)

;

13.

n=1

x + n

14.

n=1

+ 5)

∞

2x .

∞

2n x3narcsin x .

б) ∑x3ntg

б) ∑

n=1

∞

(n +nx)

∞

а) ∑

;

15.

n=1

16.

n=1

n(n + x)

∞

sin2n (2x).

б) ∑27n x3narctg

б) ∑

n=1

2n +3

n=1

∞

(−1)

∞

а) ∑

2 ;

а) ∑

1 + xn ;

(x + n)

1 − x

17.

n 1

18.

n 1

∞

tg2n x .

б) ∑

24 sinn (3x).

б) ∑3

n=1

∞

n +1

∞

а) ∑

;

а) ∑

;

−1

19.

n=1

20.

n=1

∞

1n 2 tgn x .

б) ∑42 sin2n

x .

б) ∑

n=1

n 3

127

4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х:

	9														x2
1.								.				2.				.
1.		20 − x − x2						.				2.			4 −5x	.

3.	ln (1 − x − 6x2 ).											4.	2x cos2 (x 2)− x .

5.		sh2x	−		2 .							6.			7			.
5.		x	−		2 .							6.	12 + x − x2					.
		x											12 + x − x2
7.		x				.						8.		ch3x −1 .
7.						.						8.		ch3x −1 .
		3 27 −2x													x2
9.	ln (1+ x −6x2 ).											10.	(x −1)sin 5x.

11.	6						.					12.			1		.
														4 16 −3x
		8 + 2x − x2												4 16 −3x

13.	ln (1 − x −12x2 ).											14.	(3 +e−x )2 .

15.		arcsinx			−1.							16.			7			.
15.		x			−1.							16.	12 − x − x2					.
		x											12 − x − x2
17.		x2 4 −3x .										18.	ln (1 + 2x −8x2 ).

19.	2xsin		2	(x 2)					−	x	.	20.	(		x −1 shx.
19.	2xsin			(x 2)						x		20.	(		)

128

Список литературы

1.Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Решение типичных и трудных задач [Текст]: учеб. пособие. 2-е изд., стер. / Г. Н. Берман. – СПб.: Лань, 2006. – 608 с.: ил. – (Учебники для вузов. Специальная литература).

2.Бутузов, В. Ф. Математический анализ в вопросах и задачах [Текст]: учеб. пособие. / В. Ф. Бутузов, Н. Ч. Крутицкая, Г. Н. Медведев [и др.]; под ред. В. Ф. Бутузова. – 4-е изд., исправ. – М.: Физико-математическая литература, 2001. – 480 с.

3.Васильев, Н. Б. Задачи всесоюзных математических олимпиад [Текст] / Н. Б. Васильев, А. А. Егоров. – М.: Наука. 1988. – (Б-ка мат. кружка;

вып. 18). – 288 с.

4.Виленкин, Н. Я. Задачник по курсу математического анализа [Текст]: учеб. пособие для студентов заочн. отд. физ.-мат. фак. пединститутов. В 2 ч. / Н. Я. Виленкин, К. А. Бохан, И. А. Марон [и др.]. Ч. I; под ред. Н. Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1971. – 350 с.

5.Виленкин, Н. Я. Задачник по курсу математического анализа [Текст]: учеб. пособие для студентов заочн. отд. физ.-мат. фак. пединститутов. В 2 ч. / Н. Я. Виленкин, К. А. Бохан, И. А. Марон [и др.]. Ч. II; под ред. Н. Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1971. – 336 с.

6.Виноградова, И. А. Задачи и упражнения по математическому анализу [Текст] В 2 ч. Ч. 1. / И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий; под общ. ред. В. А. Садовничего. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. – 725 с.: ил.

7.Гелбаум, Б. Контрпримеры в анализе [Текст] / Б. Гелбаум, Дж. Олмстед; пер. с англ. Б. И. Голубова. – М.: Мир, 1967. – 252 с.: ил.

8.Гурова, З. И. Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами [Текст] / З. И. Гурова, С. Н. Каролинская, А. П. Осипова; под ред. А. И. Кибзуна. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 352 с.

9.Давыдов, Н. А. Сборник задач по математическому анализу [Текст]: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. / Н. А. Давыдов. 4-е изд., доп. – М.: Просвещение, 1973. – 256 с.: ил.

10.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: учеб. пособие для студентов втузов. В 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Ч. 1. – 6-е изд., испр. и доп. – М.: Мир и образование, 2007. – 304 с.: ил.

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.06.2015256 Кб21СамГУ Контрольная Экон. теория 2 семестр ГМУ.doc
#
16.03.2015256.73 Кб19Самостоятельная работа.pdf
#
19.12.20188.28 Mб2Саша! САШАКАН!!!.doc
#
12.06.201561.3 Кб109Сборка.docx
#
16.03.2015179.2 Кб22Сборник заданий.doc
#
29.03.20161.08 Mб249Сборник задач-Пономаренко ВН.pdf
#
07.06.20151.23 Mб24сборник кон 22 июня.pdf
#
20.08.20197.27 Mб17Сборник лаб. работ по ТТИ.docx
#
22.11.20192.65 Mб16Сборник_1.doc
#
16.03.201512.16 Кб30СВАРКА Реком. литература.docx
#
16.03.20153.37 Mб437СВАРКА Учебное пособие.doc