Сборник задач-Пономаренко ВН

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

48) ∫sin2 x dx ;

49) ∫cos3 x dx ;

50) ∫tg4 x dx .

.pdf

Скачиваний:

249

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

§13. Исследование функций и построение кривых

Исследование рекомендуется проводить по следующей схеме:

1)Определить область определения функции.

2)Установить точки разрыва и интервалы непрерывности функции. Найти нули функции и промежутки знакопостоянства. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.

3)Найти асимптоты графика функции.

4)Найти первую производную, интервалы монотонности, точки экстремума.

5)Найти вторую производную, промежутки выпуклости (вогнутости), точки перегиба.

6)Определить, если необходимо, дополнительные точки, построить график функции.

13.1.Провести полное исследование данных функций и начертить их графики:

1)	y =			x		;
		1		+ x2

3)	y =			x4		;
			x3 − 2

5)	y = 3 x(x −3)2 ;
7)	y = 3			x2 e−	2 x
						3 ;
9)	y =			x ln x ;
11)	y = x2e−x2				;
13)	y = 2x + 4 arcctg x ;
15)	y = x + sin x ;
17)	y = x sin x ;
19)	y2 = x3 +1;
21)	y2 = x(x −1)2 ;

23) y2 = x2 − x4 ;

2)		y =	1		;
			1− x2

4)	y =		(x + 2)(x2 + 6x + 4)			;
					(1 + x)2
6)	y = 3 (x + 2)2 + 3 (x − 2)2 ;
					1
8)		y = (x − 6)e− x ;
10)		y = x2 ln2 x ;
12)		y = x2e−x ;
14)		y = x − 2 arctg x ;
16)		y = ln (x2 +1);
18)		y = cos x − ln cos x ;
20)		y2 = x3 − x ;
22) x2 y + xy2 = 2 ;
24) x2 y2 = 4				(x −1).

13.2. Исследовать и начертить кривые, заданные параметрически:

	x(t)=		t3				,
	x(t)=		3				,
		t		+1
1)		t		+1
1)			t2
	y(t)=		t2				;
	y(t)=	t	3			1	;
		t		+		1
3)	x(t )= t 3 + 3t +1,
			3
	y (t )= t −3t +1;
5)	x(t )= tet ,
5)				−t	;
	y (t )= te				;

		x(t )=				t		,
						3 −t	2
2)			t				2
	y(t )=				(2 −t )				;
					2
						3 −t
4)	x(t )= t3 − 3π,
				3		− 6 arctg t;
	y (t )= t
6)	x(t )= 2a cost − a cos 2t,
	4 y (t )= 2asin t − asin 2t.

13.3. Исследовать линии, уравнения которых заданы в полярных координатах:

1)	ρ = a sin 3ϕ ;	2)	ρ = a tg ϕ ;
3)	ρ = a (1 + cosϕ);	4)	ρ = a (1 + tgϕ).

13.4.Исследовать и построить линии, предварительно приведя их уравнения к полярным координатам:

1)	(x2 + y2 )3 = 4a2 x2 y2 ;	2)	(x2 + y2 )x = a2 y ;
3)	x4 + y4 =a2 (x2 + y2 );	4)	(x2 + y2 )(x2 − y2 )2 = 4x2 y2 .

§14. Простейшие приемы интегрирования

Таблица основных интегралов

∫xndx =

xn+1

, n ≠ −1;

∫sin x dx = −cos x + C ;

n +1

∫dxx =ln

+C ;

10)

∫cos x dx = sin x + C ;

∫

+C ;

11)

∫

= tg x +C ;

= a arctg

cos2 x

x2 +a2

∫

x − a

+C ;

12)

∫

=−ctg x +C ;

sin2 x

x2 − a2

x + a

∫

x2 + a2

+C ;

13)

∫sh xdx = ch x + C ;

= ln

x +

+ a

∫

= arcsin

+C ;

14)

∫сh xdx = sh x + C ;

x2 − a2

∫ax dx = ax ln a + C ;

15)

∫

= th x +C ;

ch2 x

∫ex dx = ex

+ C ;

16)

∫

= −cth x +C .

sh2 x

Если ∫ f (x)dx = F (x)+ C , и u = ϕ (x ), то ∫ f (u )du = F (u )+ C .

Если u (x) и v (x)

– дифференцируемые функции, то ∫u dv = uv − ∫vdu .

Если

x =ϕ(t ),

где

ϕ (t ) –

непрерывно

дифференцируемая функция, то

∫ (

)

∫

(

))

(

)

f x dx = f ϕ

t ϕ

′

t dt .

14.1.Путем преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

∫(2 −3 x )2dx;

∫(x +1)15dx ;

∫

;

∫

;

2x −1

(2x −3)5

∫

xdx

;

∫

x3dx

;

4 + x4

x4 − 2

∫

xdx

;

∫

;

(

)

+ x

x +3

8 − 2x dx ;

9) ∫ 2dx−5x ; 11) ∫ (xxdx2 −1)3 ;

13) ∫5 (8 −3x)6 dx ; 15) ∫2x x2 +1dx ; 17) ∫(ex +1)3 dx ; 19) ∫xe−x2 dx ;

21)

∫

exdx

;

2 + ex

23)

∫ln2 xdx ;

25)

∫

;

1+9x2

27)

∫

;

−9x

29)

∫

2x −

arcsin x

dx ;

1− x

31)

∫tg x dx ;

33)

∫

;

x2 −7x +10

35)

∫

;

x2 −2x +5

37)

∫

;

−3x +

39)

∫

;

−6x − x

41) ∫cos 2x dx ;

43)

∫sin2 x dx ;

45)

∫cos 2xcos3x dx ;

10)	∫	dx					;
		(1+ x )				x
12)	∫		(6x −5)dx						;
		2	3x	2	−	5x +		6

14) ∫

16) ∫x 1− x2 dx ; 18) ∫e−3 x+1dx ; 20) ∫x2e−x3 dx ;

22) ∫e−x +ex ;

24) ∫xln xln (ln x);

26) ∫9 +2x2 ;

28) ∫	xdx		;
28) ∫	2	4	;
	a − x

30)∫x2 +1dx ;

x4 +1

32) ∫ctg x dx ;
34)	∫	dx			;
		x2 +3x −10
36)	∫	dx				;
		4x2 +4x +5
38)	∫		dx				;
		x	2
			− 2x +5
40) ∫			dx					;
		8	+ 6x −	9x			2

42) ∫cos2 x dx ;
44)	∫cos x sin 3x dx ;
46)	∫cos x cos 2x cos3x dx ;

14.2. Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

1)	∫ln x dx ;							2)	∫x4 ln x dx ;
3)	∫			x ln2 x dx ;				4)	∫xe−x dx ;
5)	∫x2e−2 x dx ;							6)	∫x cos x dx ;
7)	∫x2 sin 2x dx ;							8)	∫x ch x dx ;
9)	∫arctg x dx ;							10)	∫arcsin x dx ;
11)	∫x2 arccos x dx ;							12)	∫ln(x +					1+ x2 )dx ;
13)	∫sin x ln (tg x)dx ;							14)	∫sin (ln x)dx ;
15)	∫			a2 − x3 dx;				16)	∫	x2 + a dx ;
17)	∫			x3			dx ;	18)	∫			dx				;
										(a	2	2		)	2
					2	2
			1+ x			)						+ x
			(
				xdx								x
19)	∫					;		20)	∫	xe			dx .
		cos2 x
										(x +1)2

14.3. Применяя подходящие подстановки, найти следующие интегралы:


1)	∫sin4 x dx ;			2)	∫sin4 x cos2 x dx ;
3)	∫cos6 x dx ;			4)	∫sin2 x cos3 x dx ;
		sin3 x				cos2 x
5)	∫cos5 x dx ;			6)	∫sin4 x dx ;
7)	∫	dx			∫	dx
			;	8)				;
		cos5 x				sin6 x
9)	∫	a2 + x2 dx ;		10)	∫x2		a2 + x2 dx ;
11)	∫x2 x2 −a2 dx ;			12)	∫x2		a2 − x2 dx ;
13)	∫5 x dx ;			14)	∫x cos			x dx ;
15)	∫	1− x2 dx ;		16)	∫	x2dx			.
						2
						x	−	2

§15. Основные классы интегрируемых функций

Интеграл от функции вида					ax + b		ax + b		находится с помощью
				R x, m		, p		,...
				R x, m	a1x + b1	, p	a1x + b1	,...
					a1x + b1		a1x + b1
подстановки zn =	ax +b		, где n – наименьшее общее кратное чисел m, p, … .
подстановки zn =	a x +b		, где n – наименьшее общее кратное чисел m, p, … .
	a x +b
	1	1

Дифференциальные биномы xm (a +bxn )p dx . Данные интегралы вычисляют-

ся в конечном виде только в следующих трех случаях:

p – целое число;

m +1

– целое число, подстановка a + bxn = zs , где s – знаменатель дроби p;

m +1

+ p –

целое число,

подстановка ax−n + b = zs , где s

–

знаменатель

дроби p.

Универсальная

тригонометрическая подстановка t = tg

sin x =

+t2

cos x =

1−t2

, x = 2arctg t , dx =

2dt

1+t2

15.1.Найти интегралы от дробно-рациональных функций, знаменатель которых имеет действительные корни:

∫

x dx

;

∫

x dx

;

(

)(

)

−3x −

+1 2x

∫

2x2 + 41x −91

∫

;

dx ;

6x3 −7x2 −3x

(x −1)(x +3)(x −4)

∫

x5 + x4 −8

∫

x3 −1

dx ;

x3 −4x

4x3 − x

∫

32x dx

;

∫

x6 −2x4 +3x3 −9x2 + 4

dx .

(2x −1)(4x2 −16x +15)

x5 −5x3 + 4x

15.2.Найти интегралы от дробно-рациональных функций, знаменатель которых имеет только действительные корни, некоторые корни – кратные:

∫

x + 2

;

∫

x3 − 6x2 +11x −5

dx ;

(x − 2)

x −1

∫

dx ;

∫

x2dx

;

x4 − x2

(x + 2)2 (x + 4)2

∫

(x2 − 2x + 3)dx

∫

x3 − 2x2 + 4

dx .

;

x3 (x − 2)2

(x −1)(x3 − 4x2 + 3x)

15.3.Найти интегралы от дробно-рациональных функций, знаменатель которых имеет комплексные различные корни:

∫

;

∫

;

(

x2 +1

x3 +1

)

∫

xdx

∫

(2x2 −3x −3)dx

;

1− x3

)

(x −1)(x2 − 2x + 5)

(

x2dx

1 dx

∫

;

1− x4

x3 − x2 + x −1

∫

(3x2 + x +3)dx

∫

(

)

;

x4 +1

+1 (x −1)

15.4.Найти интегралы от дробно-рациональных функций, знаменатель которых имеет комплексные кратные корни:

1) ∫		x3 + x −1												∫								dx
											dx ;		2)																	;
		(	x2 + 2		)			2			dx ;		2)			x		(	x2 + 4				)	2	(	x	2 +1			;
		(			)													(					)		(		)
3)	∫		(5x2 −12)dx									;	4)	∫				(x +1)4 dx										;
																		2									3
			2 2															2									3
		(x −6x +13)														(x				+ 2x + 2)
5)	∫		dx							;			6)	∫						2x dx									;
5)	∫	(	x2 + 9	)			3			;			6)	∫		(x +1)					(	x2			+1 2				;
		(		)																	(						)
7)	∫		x9dx						;				8)	∫			x			7dx			.
7)	∫	(	x4 −1			2			;				8)	∫	(		x4			+1 2			.
		(	)												(						)

15.5.С помощью приведения подынтегральных функций к рациональным функциям найти следующие интегралы:

1)	∫				dx		;
		1			+	x

3)	∫				x 3	2 + x		dx ;
				x +		3
						2 + x
5)	∫					dx				;
				x(		x + 5 x2 )
7)	∫		x2 + x +1						dx ;
			3
						x +1

2) ∫x(1+2 x + 3 x );

4) ∫11 +− 3 xx ++11dx ;

6) ∫ 11+− xx dxx ;

8) ∫3 11+− xx dxx .

15.6. Вычислить интегралы, используя соответствующие подстановки Чебышева:

1)	∫ x (1+ 3 x )4 dx ;
3)	∫			dx				;
			x	3 2	+1
				x
5)	∫			dx		;
			4	4
				x +1
7)	∫	3 1 + 4			x		dx ;

				x

9)∫3 x(1 − x2 )dx ;

15.7.Вычислить интегралы, содержащие

1)	∫		x dx				;
		5	+ x − x			2

3)	∫		xdx						;
		1	−3x	2	−2x			4

5)	∫		x2 dx					;
		x	4 2			−1
			− 2x

2)∫x−1 (1+ x13 )−3 dx ;

4)∫ 3 xdx3 +1 ;

6)	∫	1 − x4
				dx ;
		x5
8)	∫	3 1+	x		dx ;
		x

10)	∫3 1 + 4		x dx .

ax2 +bx +c :

2)	∫		x +1		dx ;
2)	∫	x	2		dx ;
		x		+ x +1
4)	∫			cos xdx					;
4)	∫	1	+sin x +cos				2		;
		1	+sin x +cos					x
6)	∫			dx		;
6)	∫	x	x	2		;
		x	x	+ x +1

7)	∫ 2 + x − x2 dx ;	8)	∫ 2 + x + x2 dx .
15.8. Найти интегралы от тригонометрических функций:
1)	∫sin3 xcos2 x dx ;	2)	∫cos6 xdx ;
3)	∫ctg4 xdx ;	4)	∫tg5 x dx ;

	3						dx
5)	∫cossin4 xxdx;			6)	∫			;
							cos xsin3 x
	∫	sin xdx			∫		cos xdx
7)			;	8)					.
		(1−cos x)2				(1−cos x)2

15.9.Найти интегралы, используя универсальную тригонометрическую подстановку:

∫

;

∫

;

3 +sin x

+5cos x

∫

;

∫

cos xdx

;

sin x +2cos x +6

2 −cos x

∫

;

∫

sin xdx

;

sin2 x −sin 2x

2sin x +3cos x

∫

sin 2xdx

∫

cos2 xdx

1+sin2 x ;

sin x +3cos x

15.10. Применяя различные методы, найти следующие интегралы:

1) ∫

;

2) ∫

x +1

dx ;

xln x − x

ln x + x

3) ∫

;

4) ∫

x2dx

;

(a2 − x2 )3 2

a2 + x2

5) ∫

;

6) ∫

x3 +1

dx ;

e2x +6

x2 (1− x)

∫

;

∫cossin3xxdx ;

sin3 x

∫

;

10) ∫

dx ;

sin3 x

sin4 x

11) ∫xln

dx ;

12) ∫

;

1+ x2

2 +sin x +cos x

13) ∫

;

14) ∫

cos4 xdx

;

sin2 x −5sin x +6

sin3 x

15) ∫xarctg xdx ;

16) ∫x3 arctg2 xdx ;

17) ∫

e2 x

dx ;

18) ∫

;

4 x

2 x

∫x3 (1 + x2 )−

19)

2 dx ;

21)

∫

x + 2 4

dx ;

x (

x + 3 x2

)

23)

∫

3x + 2

dx ;

−6x +13

25)

∫

;

(x −

−

10x +7

27)

∫

3x2 + x −2

dx ;

(x −1)3

(

)

29)

∫x4 1+ x2 dx ;

31)

∫(arccos x)2dx ;

33)

∫

;

3ctg x + 2sin x

35)

∫

3 1 − 4 x

dx ;

37)

∫

;

sin3 x +cos3 x

39)

∫

;

1 + e

+ e

2 x

20) ∫(ex −sin x)2dx ;

22) ∫	5x −1			dx ;
	3 − 4x	2	+8x

24) ∫	43 x + 5 x2				dx ;
	3 x2 (23	x + 5		x )3

26) ∫x4 +1dx ; x6 −1

32) ∫ x −2 exdx ;

(1− x)2

34) ∫	x2 + x +1	dx ;

	x

36) ∫x2 x−+3x dx ;

38) ∫xarctgxdx ;

(1 + x2 )2

(e3x +ex )

40)∫e4 x −e2 x +1dx .

15.11. Найти первообразную для функции		y =	x2			.
			(xsin x + cos x)2
15.12. Доказать, что
∫αsin x + βcos x +γdx = Ax + Bln	asin x +bcos x +c			+C∫		dx	.


asin x +bcos x +c					asin x +bcos x +c

15.13.Через какие функции может быть выражен интеграл от рациональной дроби ∫QP((xx))dx ?

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.06.2015256 Кб21СамГУ Контрольная Экон. теория 2 семестр ГМУ.doc
#
16.03.2015256.73 Кб19Самостоятельная работа.pdf
#
19.12.20188.28 Mб2Саша! САШАКАН!!!.doc
#
12.06.201561.3 Кб109Сборка.docx
#
16.03.2015179.2 Кб22Сборник заданий.doc
#
29.03.20161.08 Mб249Сборник задач-Пономаренко ВН.pdf
#
07.06.20151.23 Mб24сборник кон 22 июня.pdf
#
20.08.20197.27 Mб17Сборник лаб. работ по ТТИ.docx
#
22.11.20192.65 Mб16Сборник_1.doc
#
16.03.201512.16 Кб30СВАРКА Реком. литература.docx
#
16.03.20153.37 Mб437СВАРКА Учебное пособие.doc