Сборник задач-Пономаренко ВН

27)

y =sin2 x3 ;

28) y =sin4 x +cos4 x ;

29)

y = ctg

3

x

;

30)

y =

1

;

(1 + cos 4x)

5

3

cos x

x

3x

5

−x2

1

31)

y =

+ ln tg

;

32)

y = 2

+ x

+e

+

;

sin

2

x

x

2

33)

y = xe x ;

34) y = x2e−x ;

35)

y =(x +2)e−x2 ;

36)

y =ex 3 cos(x 3);

1

1

37)

y = e

;

38)

y = e

;

cos x

ln x

1)

y = xx2 ;

2)

y = xxx ;

3)

y =(sin x)cos 2 x ;

4)

y =(ln x)x ;

5)

y = (x +1)2 x ;

6)

y = x3ex2 sin 2x ;

7)

y = (x − 2)2 3 x +1

;

8)

y = (x +1)3 4 x − 2 ;

(x −5)3

5 (x −3)2

9)

y = xln x ;

10)

y = xsin x 1 − ex ;

3)

x2

+

y2

=1;

4)

x2

−

y2

=1;

a2

b2

a2

b2

5)

x +

y = a ;

6)

x3 + y3 −3axy = 0 ;

7)

y2 cos x = a2 sin3x ;

8)

y3 −3y + 2ax =0 ;

9)

y2 − xy +b2 =0 ;

10) x4 + y4

= x2 y2 ;

11) x3 + ax2 y +bxy2 + y3 = 0 ;

12) 2x + 2y

= 2x+ y ;

13) 2 y ln y = x ;

14) xy = yx ;

15) cos (xy)= x ;

16) y = x + arctg y .

7.6.

Найти дифференциал функции:

1)

y = x5 ;

2)

y = tg x ;

3)

y =sin3 2x ;

4)

y = ln x ;

5)

y =ln (sin

x );

6)

y = 2−x2 .

7.7.

Найти дифференциал функции в точке x0 :

1)

y = x−4 , x0 = −1;

2)

y = x3 −3x2 +3x , x0 = 0 ;

3)

y = 1+ x2 , x0 = −3;

4)

y =

1

−

1

, x

= 2 ;

x2

x

0

5)

y = ln cos x ,

x

= π ;

6)

y =e−2 x ,

x

= −

1

;

0

0

4

2

7)

y = x +1,

x0

= 4 ;

8)

y = arctg

4x −1 , x0 = 3 .

x = 0 .

7.10.

f (x)= x2 sin

1

при

x ≠ 0 ,

f (0)= 0 . Будет ли функция

f (x)

непрерывной

x

и дифференцируемой при x = 0 ?

7.11.

f (x)= xarctg

1

при x ≠ 0 , f (0)= 0 . Будет ли функция

f (x)

непрерыв-

x

ной и дифференцируемой при x = 0 ? Истолковать результат геометриче-

ски.

7.12.

Пусть f (x)= sin x +

sin 3x

+

sin 5x

+

sin 7x

. Показать, что

π

=

1

.

3

5

7

f ′

2

9

вательно соотношениями: f

(n)

(n−1)

′

. Дифференциалы высших поряд-

(x)= f

(x)

ков от

функции

y = f (x)

последовательно

определяются формулами:

d

n

y =d (d

n−1

y), где принято

d

1

′

y = dy = y dx .

Если функции u =ϕ(x)

и

v =ψ (x) имеют производные n -го порядка, то

справедлива формула Лейбница (uv)(n)

n

= ∑Cni u(i)v(n−i) .

i=0

8.1. Найти производную второго порядка от функции:

1)

y = e−x2 ;

2)

y = tg x ;

3)

y = arcsin

x

;

4)

y =arctg

1

;

x

2

5)

y = 1+ x2 ;

6)

y = ln tg x ;

7)

y = ex cos x ;

8)

y = ln (x +

1 + x2 ).

8.2. Найти производную третьего порядка от функции:

1)

y = arctg

x

;

2)

y = xe−x ;

2

3)

y = x2 sin x ;

4)

y = x3 2x .

8.3. Найти производную n-го порядка от функции:

1)

y = ex ;

2)

y = ln x ;

3)

y = 3x ;

4)

y = xm , где m N ;

5)

y = sin 3x ;

6)

y = ln (1 + x);

7)

y = 23 x ;

8)

y =sin2 x ;

9)

y = cos2 x ;

10) y = ln (2 −3x);

11) y =(4x +1)n ;

12) y = x cos x , n =10 ;

13)

y =

(

x3

−1 e5x , n = 37 ;

14) y = x2 ln x , n =100 .

)

1)

(x2 +1)sin x (20) ;

2)

(ex sin x)(n) ;

3)

(x3 sinαx)(n) ;

4)

(ex sin mx)(n) .

8.5. Найти дифференциал второго порядка от функции:

1)

y = ctg x ;

2)

y = cos2 x ;

3)

y = ln (2x +3);

4)

y = xex .

8.6. Найти дифференциал n -го порядка от функции:

1)

y = sin x ;

2)

y = cos x ;

3)

y = ex 2 ;

4)

y = e−x .

1)

b2 x2 + a2 y2 = a2b2 ;

2)

x2 + y2 = r2 ;

3)

y = tg (x + y);

4)

y3 + x3 −3axy = 0 ;

5)

y = sin (x + y);

6)

ex+y

= xy .

8.8.

Найти

′

′′

функций заданных параметрически:

yx

и yxx

1)

x = at2 ,

2)

x = a cost,

=bt3 ;

y

y = bsin t;

3)

x = a(t −sin t ),

4)

x = acos3 t,

= a(1 −cost );

y

y = asin3 t;

5)

x = acos2 t,

6)

x = ln t,

= asin2 t;

2

−1;

y

y = t

7)

x = arcsin t,

8)

x = at cost,

= ln (1 −t

2

);

y

y = at sin t.

y′′′

3

y′′

2

8.9.

Доказать,

что выражение S =

−

не изменится, если заменить

y′

2

y′

Значение производной в точке x0 равно

угловому

коэффициенту каса-

тельной к графику функции в точке (x

; y

0

)

f

′(x )= tgα . Уравнение касатель-

0

0

ной в точке

(x0 ; y0 ) y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 ),

уравнение нормали в этой точке

y − y0 = −

1

(x − x0 ).

f ′(x0 )

Если функция f (x)

в окрестности точки а имеет (n+1) производную,

то

справедлива формула Тейлора (при a = 0 получаем формулу Маклорена):

f (x)= f (a)+ f

′

(a)(x −a)+ f

′′

(a)

(x −a)2

(n−1)

(a)

(x −a)n−1

(n)

(a +θ(x −a))

(x −a)n

2!

+... + f

(n −1)! + f

n!

,

9.3.

Под какими углами пересекаются гипербола

y =

1

с параболой

y = x .

x

9.4.

Написать уравнения касательной и нормали, проведенных к кривой y = x3

в точке с абсциссой 2.

9.5.

При каком значении независимой переменной касательные

к кривым

y = x2 и y = x3 параллельны?

1)

x = 2et ,

t0 = 0 .

2)

x = sin t,

t0 =

π

.

6

y = et ;

y = cos 2t;

3)

x = 2ln ctgt,

t0 =

π

.

4)

x =t2 cost −2t sin t,

t0

=

π

.

+ ctgt,

4

+ 2t cost,

4

y = tgt

y =t2 sin t

1)

3 8,01 ;

2)

4 17 ;

3)

e0 ,2 ;

4)

cos 320 ;

5)

tg44052' ;

6)

0,963 ;

7)

lg10,08 ;

8)

arcsin 0, 48 ;

9)

ln 1, 01 .

9.17. Разложить функцию f (x)

по формуле Маклорена:

1)

f (x) = cos 5x ;

2)

f (x)= sin 3x ;

3)

f (x)= x3arctg x ;

4)

f (x) = sin x2 ;

5)

f (x)=

x2

;

6)

f (x)=

1

;

1

+ x

1

+3x2

7)

f (x)= e3 x ;

8)

f (x)=cos(2x3

3 ).

1)

f (x)= 3 +2x , x0 = 4 ;

2)

f (x)= 3 2 −5x , x0 = −1;

3)

f (x)=

1

, x0 = 2 ;

4)

f (x)=

1

, x0 = 2 ;

4 −3x

+

1

4x

5)

f (x)= 2x+1 , x0 = 0 ;

6)

f (x)= ln (2x +1), x0 = 3 ;

7)

f (x)=

1

, x0 = −1;

8)

f (x)= log7 (x +1) , x0 = 5 .

(5

− x)

2

9.19. Выяснить поведение данных функций в указанных точках:

1)

f (x)= 2x6 − x3 + 3 , x0 = 0 ;

2)

f (x)= x11 + 3x6 +1, x0 = 0 ;

3)

f (x)= 2cos x + x2 , x0 = 0 ;

4)

f (x)= 6sin x + x2 , x0 = 0 .

9.20.

f (x)= x8 − 2x7 + 5x6

− x + 3. Найти первые три члена разложения по фор-

муле Тейлора при x0

= 2 . Подсчитать приближенно f (2,02) и f (1,97).

9.21.

f (x)= x5 − 5x3 + x .

Найти первые три члена разложения

по степеням

x − 2 . Подсчитать приближенно f (2,1). Вычислить f (2,1)

точно и найти

ции

f (x) и

ϕ (x) одновременно стремятся к нулю или бесконечности, то

lim

f (x)

= lim

f ′(x)

при условии, что предел справа существует.

ϕ(x)

ϕ′(x)

x→a

x→a

10.1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

1)

lim 2sin x −1 ;

2) lim

cos x

;

x→π / 6

cos3x

x→π / 2

cos3x