Сборник задач-Пономаренко ВН
.pdf§22. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость рядов
∞
Ряд ∑an , члены которого an , называется абсолютно сходящимся, если
n=1
∞
сходится ряд ∑an . Абсолютно сходящийся ряд сходится, обратное утвержде-
n=1
ние неверно.
|
|
|
|
∞ |
||||
Признак Лейбница. Пусть ряд ∑(−1)n an знакочередующийся, где an ≥ 0 , |
||||||||
|
|
|
|
n=1 |
||||
если последовательность { |
|
an |
|
} убывает и lim |
|
an |
|
= 0 , то ряд сходится. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞
Ряд ∑an , члены которого an , называется условно сходящимся, если он
n=1
∞
сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин ∑an , расходится.
n=1
22.1. Доказать сходимость следующих рядов и найти их суммы:
∞ |
(−1)n (2n +1) |
; |
∞ |
(−1)n+1 |
. |
|
1) ∑ |
2 |
n |
2) ∑ |
n |
||
n=0 |
|
|
n=1 |
|
22.2. Применяя признак Лейбница, показать, что данный ряд сходится:
1) |
∑(−1) |
n−1 |
; |
|
2) |
∑ (−1) |
n−1 |
2 ; |
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||
|
n=1 2n −1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(3n +5) |
|
|
|
|||||||
3) |
∑(−1) |
n |
; |
|
|
4) |
∑(−1) |
n |
n ; |
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||
|
n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
n=1 n + 20 |
|
|
|
||||
5) |
∑(−1) |
n |
ln n ; |
6) |
∑(−1) |
n |
sin (π n). |
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
n=1 |
|
n |
|
22.3. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
1) |
∑(−1α) |
n+1 |
; |
|
|
2) |
∑(−1) |
n |
; |
|
|||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
n=2 |
ln n |
|
|
||
|
∞ |
(−1) |
n+1 |
3 |
n |
|
|
∞ |
(−1) |
n |
(n −1) |
|
|
3) |
∑ |
|
|
; |
4) |
∑ |
|
; |
|||||
n + 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
|
|
|
8 |
n |
(n +1) |
||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
80
∞ |
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
5) ∑(−1) |
tg |
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7) ∑(−1)n+1 n10e−n ; |
|
||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9) ∑ (−1) |
n+1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n=1 |
2n −arctg n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
11) ∑(−1)n+1 arctg2 |
; |
|
|
||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
n |
+1 |
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n +1)!! |
|
||||||||||
13) ∑(−1)n−1 |
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||
2 5 8 ... (3n −1) |
|||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∞ |
(−1) |
n |
cos(π n) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
15) ∑ |
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
πn |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
17) ∑ |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
2 |
n |
n + |
1 |
|
|
|
||||||||||||||
n=2 |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
19) ∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||
(n +(−1)n ) |
p |
|
|
|
|
||||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞sin πn
21)∑ ln12n ;n=2
6) |
∑ (−13) |
n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n =2 |
n ln |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
n |
|
3n + |
1 |
n |
|
|
|||||||||||
8) ∑(−1) |
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4n + |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
(n2−1) |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10) |
∑(−1)n+1 |
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
+1 |
|
|
|
|
|||||||
12) |
∞ |
|
|
|
|
|
|
2 |
n2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
∑(−1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 4 ... ( |
3n −2) |
|
|||||||||||
14) |
∑(−1)n−1 |
; |
|||||||||||||||||||
7 9 ... (2n +5) |
|||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n2 + k 2 ); |
|
||||||||||||
16) |
∑sin (π |
|
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18) |
∞ |
|
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|||||||||
∑ln 1 |
+ |
|
|
n |
p |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
(−1) |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
20) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||
( n |
|
+(−1)n+1 ) |
p |
|
|||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∞ |
|
sin n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
22) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=10 n +10sin n |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
k −1 |
|
|
1 |
|
|
|
22.4. Найти сумму ряда ∑(−1) |
|
ln 1 |
− |
|
|
|
. |
|
(k + |
1) |
2 |
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
81
§23. Функциональные и степенные ряды
∞
Множество значений x , при которых функциональный ряд ∑ fn (x) сходит-
n=1
∞
ся, называется его областью сходимости, а функция f (x)= ∑ fn (x) – суммой
n=1
ряда.
∞
Ряд ∑ fn (x) называется равномерно сходящимся на множестве X, если для
n=1
любого ε > 0 |
существует номер N, не зависящий от x, такой, что при n > N |
|||
|
fn (x)− f (x) |
|
|
<ε одновременно для всех x X . |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
Признак Вейерштрасса. Ряд ∑ fn (x) сходится абсолютно и равномерно на |
|||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
∞ |
множестве |
Х, если существует сходящийся числовой ряд ∑an такой, что |
|||
|
|
|
|
n=1 |
|
fn (x) |
|
≤an |
при x X . |
|
|
23.1. Найти сумму следующих функциональных рядов:
|
∞ |
|
|
1) |
∑x2n ; |
|
|
|
n=0 |
|
|
|
∞ |
n−1 (x −3) |
n−1 |
|
|
||
3) |
∑(−1) |
n |
; |
|
n=1 |
3 |
|
∞
2) ∑(−1)n (2x)n ;
n=0 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
x |
2 |
|
|
|
4) ∑ |
|
|
|
|
. |
|
( |
+ x |
) |
n |
|||
|
1 |
|
|
|
||
n=0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23.2. Найти область сходимости функциональных рядов:
1) |
∑(−1n) |
n |
|
|
|
|
2) |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
; |
|
|
∑ 21n+1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
x(x + n) n |
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) |
∑n=1 |
|
|
; |
|
|
|
|
4) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
3nx−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
1+2x |
n |
|
|
|
|
||||
5) |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
6) |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||
1 + x |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
1 |
1+3x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
1+ 2x |
n |
|
∞ |
|
|
|
|
n |
n −1 |
|
|
|
x |
n |
||||||
7) |
∑ |
|
|
|
; |
8) |
∑(−1) |
|
|
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
|
|
|
|
4 + x |
5 |
n (n |
+ |
1) |
|
|||||||||||||||||
|
= |
n n |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
3x −1 |
|
|||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82
∞ |
|
(−1)n+1 2 +3x n |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9) ∑ |
|
|
|
|
n |
p |
|
|
|
|
3 + x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
n |
|
|
|
|
||||||||
11) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ln (1 + n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13) ∑ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15) ∑cos3nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17) ∑xn sin |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19) ∑ |
|
n |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
21) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
(x +1)...(x + n) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
tg |
n |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
23) ∑ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(−31x−)2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
25) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27) ∑arctg (nx |
2 |
)sin x ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 + x2 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
( |
|
|
|
|
|
2 |
|
)( |
2 |
+ x |
2 |
) |
... |
( |
n + x |
2 |
) |
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n |
1+ x n |
|||
10) ∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||
n=1 |
3 |
n −ln n |
3 + 2x |
|
12) ∑∞ 1 ;
n=1 nx
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14) |
∑nln x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16) |
∑tg |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
cos nx |
|
|
|
(a >1); |
||||||||||
18) |
∑ |
|
|
|
|||||||||||||
nx |
|
|
|||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
20) |
∑ xn + |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
2 |
n n |
||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||
|
∞ |
2 |
n |
sin2 |
n |
|
x ; |
|
|||||||||
22) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(n + x) |
n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
24) |
∑ |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||
|
n+x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||
|
1+ x |
2 |
) |
n |
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
28) |
∞ |
|
|
|
n |
n ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
∑ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑∞ 1 x n
30) . n=1 n x
23.3.Исследовать функциональные последовательности на равномерную сходимость в указанных промежутках:
1)fn (x)= xn , а) 0 ≤ x ≤12 ; б) 0 ≤ x ≤1.
2)fn (x)= xn − xn+1 , 0 ≤ x ≤1.
3)fn (x)= xn − x2n , 0 ≤ x ≤1.
4)fn (x)= x +1 n , 0 < x < +∞.
83
5)fn (x)=1+nxn + x , 0 ≤ x ≤1.
6)fn (x)=1+2nnx2 x2 , а) 0 ≤ x ≤1; б) 1 < x < +∞.
7)fn (x)= x2 + n12 , −∞ < x < +∞ .
8) |
fn (x)= |
sin nx |
, −∞ < x < +∞ . |
|
n |
||||
|
|
|
9)fn (x)=arctg nx , 0 < x < +∞.
10)fn (x)= x arctg nx , 0 < x < +∞.
11)fn (x)= nx ln nx , 0 < x <1.
12)fn (x)= n 1 + xn , 0 ≤ x ≤ 2 .
13)fn (x)= 2 +1 + , 1 ≤ x < +∞.
xnx 1
14)fn (x) = n(1 − x)xn−1 , 0 ≤ x ≤1.
15)fn (x)=sin2n x + n12 , а) 0 ≤ x ≤π ; б) δ ≤ x <π −δ , δ > 0 .
23.4.Исследовать характер сходимости следующих рядов:
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
∑xn , а) на интервале |
|
x |
|
< q , где q <1; б) на интервале |
|
x |
|
<1. |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
∑ |
|
, на отрезке −1 ≤ x ≤1. |
|
|
|
|
|
|||||||
n |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
∑ |
|
, на интервале 0 < x < +∞. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=0 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
∑(1 − x)xn , на отрезке 0 ≤ x ≤1. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) |
∑ |
|
|
, на интервале 0 |
< x < +∞. |
||||||||||
|
(x + n)(x + n +1) |
||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23.5.Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость в указанных промежутках следующих функциональных рядов:
84
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(−1) |
|
|
|
|||
1) |
∑ |
|
|
|
|
, −∞ < x < +∞ ; |
2) |
∑ |
, −2 < x < +∞; |
|||||||
n |
2 |
+ x |
2 |
n |
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
x + 2 |
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
∞ |
nx |
|
|
|
|
3) |
∑ |
|
|
|
|
|
, 0 ≤ x < +∞; |
4) |
∑ |
|
|
|
, −∞ < x < +∞ ; |
|||
|
|
4 |
x |
2 |
5 |
x |
2 |
|||||||||
|
n=1 |
1 + n |
|
|
|
|
n=1 |
1 + n |
|
|
|
∞ |
n |
2 |
(xn + x−n ), |
1 ≤ |
|
|
|
|
|
||
5) |
∑ |
|
|
|
x |
|
≤ 2 ; |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
n! |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
∑cos2nx |
, −∞ < x < +∞ ; |
||||||||||
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
∑x2e−nx , 0 ≤ x < +∞; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
a |
x |
n |
, если a0 |
|||
23.6. Найти сумму ряда ∑ n |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
творяют соотношениям an+2 + 2nan+1
|
|
|
∞ |
sin nx |
|
|
|
||
|
6) |
∑ |
, −∞ < x < +∞ ; |
||||||
|
n4 + x4 |
||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|||
|
8) |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑sin nx , −∞ < x < +∞ ; |
||||||||
|
|
|
n=1 |
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
2x |
|
|
|
|
10) ∑arctg |
|
|
|
, −∞ < x < +∞. |
||||
|
x |
2 |
|
3 |
|||||
|
|
|
n=1 |
|
+ n |
|
|
||
= 0 , |
a1 =1 и коэффициенты an удовле- |
||||||||
|
2 |
− n + |
2 |
|
= 0 |
|
при n = 0, 1, 2, .... |
||
+ n |
|
an |
|
||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
2n x |
|
|
|
|
|
|
|
− 2x . Найти сумму данного |
|
23.7. Доказать, что если 0 ≤ x <1, то ∑ |
(−1)n |
=1 |
|||||
|
|
|
|
n=1 |
2 |
|
|
ряда при x ≥1. |
|
|
|
|
|
||
23.8. Является |
|
ли ряд ∑∞ |
x |
(1− x2 )n |
равномерно сходящимся на отрезке |
||
|
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
− 2; 2 |
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23.9. Доказать, что ряд ∑∞ 1 cos(n(x + ln ln n)) расходится при всех x . n=1 ln n
23.10. Доказать, что существует бесконечно много положительных x , для кото-
рых сумма ряда ∑∞ (−1)n+1 есть рациональное число. n=1 n + x
85
§24. Степенные ряды и их применения
∞
Ряд ∑an (x − a)n называется степенным рядом. Для каждого ряда существу-
n=1
ет число R, которое называется радиусом сходимости. Ряд сходится в интерва-
ле (a −R; a + R).
Если функция f (x) в некоторой окрестности точки а раскладывается в сте-
пенной ряд, то этот ряд имеет вид:
f (x)= f (a)+ f ′(a)(x − a)+... + f (nn) !(a)(x − a)n +... (ряд Тейлора).
Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций:
|
|
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
ex = ∑ |
x |
|
|
, (x |
|
|
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n=0 n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
sin x = ∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(x |
|
); |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(2n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
cos x = ∑(−1)n |
|
|
|
|
|
, (x |
); |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4) |
|
|
+ |
|
|
= |
∞ |
− |
|
|
n−1 |
xn |
, |
( |
x |
( |
−1, 1 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
ln (1 |
x) |
∑( |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
)) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5) |
(1 |
+ |
x) |
m = |
∞ m(m −1)...(m − n +1) |
x |
n , |
( |
x |
( |
−1, 1 |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
)) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24.1. Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующих степенных рядов:
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1) |
∑xn ; |
|
|
|
2) |
∑5n xn ; |
|
|||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
3) |
∑(ax)n , (a ≠ 0); |
4) |
∑(n +1)2 xn ; |
|||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
x |
n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
x |
n |
|
5) |
∑ |
|
; |
|
|
6) |
∑ |
|
|
|
|
; |
||
ln n |
|
|
|
|
n − ln n |
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|||||
|
∞ |
(x −1) |
n |
|
|
∞ |
|
x |
n |
|
|
|||
7) |
∑ |
|
; |
8) |
∑ |
|
; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n=0 |
2n +1 |
|
|
n=1 |
|
n! |
|
|
86
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) ∑n!xn ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11) |
∑ |
(−1)n−1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n(x −5) |
n+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
13) |
∑(−1)n |
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
(x +1) |
3n−2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
15) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
|
|
3n |
(n +1)ln (n +1) |
||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
n |
+(−2) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
17) |
∑ |
3 |
|
|
|
(x +1)n ; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 <α <1); |
|
|
|
|||||||||||||
19) |
∑αn2 xn |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21) |
∑(−1)n |
|
2 |
n |
(n!) |
3 |
|
p |
xn ; |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
(2n +1)! |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
− |
|
n |
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
23) ∑ |
3 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 |
|
|
n2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
(−1) |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
xn ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
n!x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
27) |
∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
|
n |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
(x −1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
29) ∑ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
nln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) |
∑e−n xn ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
(n −1)(x +3)n |
|||||||||||||||||||
12) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 (x − |
2) |
2n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
14) |
∑(−1) |
|
|
|
|
|
n |
4 |
n ; |
||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
16) |
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
n2 |
|
x |
n |
; |
|
|
|
||||||||
∑ 1 + |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
(n!) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
18) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
xn ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
(a >1); |
||||||||||
20) |
∑ |
|
|
|
xn |
|
|||||||||||||||||
|
|
n2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22) |
∑ |
x |
|
|
, (a > 0); |
|
|
||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
(2n)!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
24) |
∑ |
|
|
|
|
|
xn ; |
|
|
|
|||||||||||||
|
(2n +1)!! |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
|
x |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
26) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
sin n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
(−1) |
n |
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
28) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
5n 3 n2 +1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
(4n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
30) |
∑ |
|
|
(x + 2)2n . |
|||||||||||||||||||
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
(n!) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24.2.Пользуясь основными разложениями, написать разложения в степенной ряд относительно x следующих функций:
1) |
e−x2 ; |
|
|
2) |
cos2 x ; |
|
||||
3) |
|
x |
; |
|
|
|
x10 |
|
||
|
|
|
4) |
|
|
; |
|
|||
|
1− x |
|
|
|
||||||
|
|
|
1− x |
|
||||||
5) |
1 |
|
|
; |
6) |
|
x |
; |
||
|
(1− x)2 |
|
1−2x |
87
7) |
ln 1 + x |
; |
|
|
|
8) |
|
|
|
x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
1+ x −2x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9) |
|
12 −5x |
|
; |
|
|
10) |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
; |
|
|
6 −5x − x2 |
|
|
|
|
(1− x) 1− x2 |
) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
||
11) |
1 |
; |
|
|
|
12) |
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
1− x − x2 |
|
|
|
|
|
1+ x + x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
13) |
|
xsin a |
|
; |
14) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
2 |
|||||||
1−2xcosa + x |
2 |
− x |
2 |
1 − x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
24.3.Разложив предварительно производные, путем почленного интегрирования получить разложения в степенной ряд следующих функций:
1) |
f (x)=arctg x ; |
2) |
f (x)=arcsin x ; |
3) |
f (x)=ln(x + 1+ x2 ); |
4) |
f (x)= ln (1 − 2xcosα + x2 ). |
24.4.Применяя различные методы, найти разложение в степенной ряд следующих функций:
1) |
f (x)=(1+ x)ln(1+ x); |
2) |
f (x) = arccos(1 − 2x2 ); |
|||||||
3) |
f (x)=arctg |
2 |
−2x |
; |
4) |
f (x)=arctg |
|
2x |
. |
|
1 |
+4x |
2 |
− x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
24.5.Применяя почленное дифференцирование, вычислить суммы следующих рядов:
1) |
|
x + |
x3 |
+ |
x5 |
+... ; |
|
2) |
x − |
|
x3 |
+ |
|
x5 |
−...; |
|
|
|
||||||||||
|
3 |
5 |
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
|
x − |
|
|
x2 |
|
+ |
x3 |
−...; |
4) |
1+ |
x2 |
+ |
x4 |
−...; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
3 |
2! |
|
4! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
x2 |
|
x3 |
|
|
1 |
|
|
|
1 3 |
2 |
|
1 3 5 3 |
|
||||||||||
5) |
|
+ |
|
|
+ |
|
−...; |
6) |
1+ |
2 x + |
|
|
x |
|
+ |
|
x |
.... |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
2 4 6 |
|||||||||||||||||
|
1 2 |
|
|
2 3 |
3 4 |
|
|
24.6. Применяя почленное интегрирование, вычислить суммы рядов: 1) x + 2x2 + 3x3 +...; 2) x − 4x2 + 9x3 −16x4 +... .
24.7. Пользуясь формулой разложения в ряд Маклорена функций ex , sin x и cos x , вычислить указанные выражения:
88
1)e2 с точностью до 0,001;
2)e−1 с точностью до 0,001;
3)e−14 с точностью до 0,0001;
4)sin10 с точностью до 0,0001;
5)cos10 с точностью до 0,001;
6)sin100 с точностью до 0,00001;
7)cos100 с точностью до 0,0001;
8)sin 0,5 с точностью до 0,001.
24.8.Пользуясь формулой разложения в ряд Маклорена функции (1 + x)m , вы-
числить указанные корни с точностью до 0,001:
1) |
3 |
30 ; |
2) |
3 4 ; |
3) |
3 128 ; |
|
4) |
6 10 ; |
5) |
5 15 ; |
6) |
8 |
516 ; |
|
7) |
4 |
2000 ; |
8) |
2000 ; |
9) |
10 |
1027 . |
24.9. Вычислить с точностью до 0,001 интегралы:
|
0,2 |
−x |
|
0,5 |
arctg x dx ; |
||||
1) |
∫ |
e 3 |
dx ; |
2) |
∫ |
||||
|
0,1 |
x |
|
|
0 |
x |
|
|
|
|
0,8 |
10 |
|
|
0,5 |
dx |
|
|
|
3) |
∫ x |
sin xdx ; |
4) |
∫ |
|
|
|
; |
|
1+ x |
4 |
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5) |
∫ sin x dx ; |
6) |
∫e−x2 dx ; |
|
|||||
|
0 |
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
7) |
∫arctg 1 dx ; |
8) |
∫ |
xexdx . |
|||||
|
2 |
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
89