Сборник задач-Пономаренко ВН

a

Если

f (x) непрерывна на отрезке [a, b]

и x =ϕ(t)

– непрерывно дифферен-

цируемая функция,

заданная на отрезке

[α, β],

где

a =ϕ(α), b =ϕ(β), то

∫b

β

f (x)dx =∫ f (ϕ(t))ϕ′(t )dt .

a

α

16.1. Вычислить определенные интегралы:

∫1

−1

dx

1)

1 + xdx ;

2)

∫

;

(11 +5x)

3

0

−2

3)

−∫13

dx

;

4)

∫9

y −1

dy

;

5 (3 − x)

4

2

4

y +1

0

dx

π 4

x2

5)

−∫1

;

6) ∫0

dx ;

4x2 −9

1 + x2

π

x

0

3x4 + 3x2 +1

7)

∫sin2

dx

;

8)

∫

2

dx ;

x

+1

−π

2

−π 4

3 2x4 −5x2 +3

4

dx

9)

∫

x

2

−1

dx ;

10) ∫

;

+

2

0 1

2x +1

π 2

100π

11)

∫ sin xcos2 xdx ;

12)

∫

1−cos 2xdx .

0

0

1)

∫1 arcsin xdx ;

2)

∫3 ln (x +3)dx ;

0

0

3)

∫1

xarctg x dx ;

4)

∫1

xe−x dx ;

0

0

π 2

π

5)

∫ xsin xdx;

6)

∫x2 cos x dx ;

0

0

1)

1

1

1

= ln 2 ;

2)

1

1

1

π

.

lim

+

+... +

limn

+

+...+

=

n + 2

2

2

2

2

2

4

n→∞ n +1

2n

n→∞

n

+1

n

+2

2n

16.5. Вычислить пределы lim Sn :

n→∞

Sn

=

1

π

+sin

2π

+...

+sin

π (n −1)

1)

sin

;

n

n

n

n

2)

Sn

=

1

1

+

1

+

1 +

2

+

... +

1 +

n

;

n

n

n

n

3)

S

n

=

13

+

23

+

... + (4n −1)3

;

n4

n4

n4

4)

S

=

1

+

1

+... +

1

;

n

(n

+1)2

(n + 2)2

(2n)2

1

1

1

5)

S

= n2

+

+

... +

;

(n2 + 2)2

(n2 + n)2

n

(n2 +1)2

6)

Sn

1

1

1

;

=

1

+

+... +

2

n

n

7)

Sn =

1+ 3 2 +... + 3 n

.

3 n4

16.6. Доказать, что

∫2π sin x2dx > 0 .

0

16.7. Пусть

функция

f (x)

непрерывно

дифференцируема на [0, 1] и

f

(1)− f (

0)=1. Доказать, что ∫1 (f ′(x))2 dx ≥1.

0

16.8. Вычислить интеграл π∫

1+cos 2xdx .

0

F (x)

x

(

)

2) F (x)

x

1)

=

∫

2

;

=

∫

>

cos t

dt

lntdt , x 0 .

1 x

x2

Площадь фигуры, ограниченной прямыми x = a

и x = b и двумя непрерыв-

ными кривыми

y = y1 (x)

и

y = y2 (x)

такими,

что для любых

a ≤ x ≤ b

y1 (x)≤ y2 (x) равна S = ∫b (y2 (x)− y1 (x))dx .

a

Если

x = x(t),

y = y(t)

[0 ≤t ≤T ] –

параметрические уравнения кусочно-

гладкой простой замкнутой кривой C , пробегаемой против хода часовой

стрелки

и ограничивающей

слева от

себя фигуру с площадью

S ,

то

S = −T∫y(t )x′(t )dt = T∫x(t )y′(t )dt .

0

0

Площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами ϕ =α и ϕ = β

и

r =r(ϕ), равна S =

1

β

кривой

∫r2 (ϕ)dϕ .

2

α

1)

y = x2e−x , y = 0 , x = 2 ;

2)

y = x2 , x + y = 2 ;

3)

y = 2x − x2 , x + y = 0 ;

4)

y = a sin x , y = a cos x ;

5)

y = xln2 x , y = x ln x ;

6)

y = 2x , y = 2 , x = 0 ;

2a

a3

7)

y = 3 cos x , y = a tgx , x = 0

;

8)

y =

, y = 0 ;

a2 + x2

9)

y = x4 − 4x3 + 4x2 , y = cosπ x −1;

10)

y = x , y = x +sin2 x , x [0, π];

11) y2 = x3 − x4 ;

12) x3 = x2 − y2 ;

13) a2 y4 = x4 (a2 − x2 );

14) x = cosπ y , 4 y2 = 3(x + 3).

2

2

1)

x =3t

,

2) x = 2t −t

,

y

=3t −t3;

y = 2t2 −t3;

3)

x = acost,

4)

x = acos3 t,

=bsin t;

y

y =bsin3 t;

5)

x = a cost,

6)

x = acos3t,

= asin 2t;

y

y = asin t;

t

x

=

,

x = acost,

1

+t

2

)

2

7)

(

8)

asin2 t

t

t

y =

.

2 +sint

y

=

;

(

+t

2

)

2

1

17.6. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

x = 2a cost − a cos 2t ,

y = 2a sin t − a sin 2t .

17.7. Найти

площадь фигуры,

ограниченной

одной

аркой циклоиды

x = a(t −sint),

y = a(1−cost) и осью абсцисс.

1)

x3

+ y3 = axy ;

2)

(x + y)3 = axy ;

3)

x4

= axy2 +ay3 ;

4)

x5 + y5 = ax2 y2 .

1)

r = acos5ϕ;

2)

r = acos 4ϕ;

3)

r = a(1−sinϕ);

4)

r = a tgϕ , ϕ = π

4 ;

5)

r = a(2 −cosϕ);

6)

r2 = a2 cos 4ϕ ;

7)

r = 2ϕ, ϕ

0, 2π

]

, ϕ = 0 ;

2

)

8)

r = a 1 +sin 2ϕ

.

[

(

1)

x4 + y4 = a2 xy ;

2)

x4 + y4 = a2 xy ;

3)

(x2 + y2 )3 = ax4 y ;

4)

x6 + y6 = a2 (x4 + y4 );

5)

(x2 + y2 )3 = a2 x2 y2 ;

6)

x6 + y6 =a2 x4 .

17.15. Вычислить площадь фигуры, заключенной между линией

y =

1

и

1

+ x2

Длина дуги y = f (x), a ≤ x ≤ b : L = ∫b

1+(f ′(x))2 dx .

a

При

параметрическом

задании

x =ϕ(t),

y =ψ (t),

a ≤t ≤b :

b

(

(

))

2

(

(

))

2

L =

∫

′

t

′

t

dt .

ϕ

+ ψ

a

Если

кривая

задана в

полярных

координатах

r = f (ϕ), α ≤ϕ ≤ β ,

β

L = ∫ r2 + r′2 dϕ .

α

18.1. Найти длины дуг следующих кривых:

1)

y = ln x , 3 4 ≤ x ≤12 5 ;

2)

y =1 − ln cos x , 0 ≤ x ≤ π

3 ;

3)

y = ln (1 − x2 ), 0 ≤ x ≤1 2 ;

4)

y = arccose−x , 0 ≤ x ≤1;

5)

y =

1 − x2

+ arcsin x , 0 ≤ x ≤ 7 9 ;

6)

y = 1 − x2

+ arccos x , 0 ≤ x ≤ 8 9 .

18.2. Определить длину дуги кривой:

1)

y2 = x3 , отсеченной прямой x = 4 3 ;

18.4.

Найти периметр фигуры, ограниченной линиями y3 = x2 и y = 2 − x2 .

18.5.

Найти длину линии:

1)

y(x)= ∫x

t4 −1dt , 1 ≤ x ≤ 2 ;

2)

y(x)= ∫x

cos 2tdt , 0 ≤ x ≤ π 4 ;

1

0

3)

y(x)= ∫x

sin 2tdt , 0 ≤ x ≤ π 4 ;

4)

y (x)= ∫x

cos xdx .

0

−π 4

4)

(

+t2

)

, y = 2arctg t − 2t + 8

от точки

A(0, 8) до точки

x = ln 1

1) r =cos3

ϕ

, 0 ≤ ϕ ≤ π 2

;

2)

r = acos4

ϕ

;

3

4

3) r =ϕ2 ,

0 ≤ϕ ≤π ;

4)

ϕ =

r

r

2

+2

+ln

r +

r

2

+2

, 0

≤

r

≤

2.

2

ри кольца a 4 ≤ r ≤ 2a .

18.10. Найти длину границы областей, ограниченных кривыми r =

a

4sin

2 ϕ

2