Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

355

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 3934 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

§ 20.2. Ряд Тейлора	331

П р и м е р 20.11. Вычислить с точностью до 0, 01 значение ln 1, 5. Р е ш е н и е. Представим ln 1, 5 в виде ln (1 + 0, 5) и напишем ряд

Маклорена функции ln(1 + )			при = 0, 5 (−1, 1]:
ln (1 + 0, 5) = 0, 5 −	(0, 5)2		(0, 5)3	−	. . . + (−1)	+1	(0, 5)
		+						+ . . . =
	2		3

= 0, 5 − 0, 125 + 0, 041 (6) − 0, 015625 + 0, 003125 − . . .

Полученный ряд — знакочередующийся, и пятое слагаемое оказалось меньше заданной погрешности:

0, 003125 < 0, 01,

следовательно, согласно следствию 19.1, если в качестве приближенного значения рассмотреть сумму первых четырех слагаемых, то требуемая точность будет достигнута.

Итак, ln (1 + 0, 5) ≈ 0, 5 − 0, 125 + 0, 041 (6) − 0, 015625 ≈ 0, 4 с

точностью до 0, 01. 2

	0,7
П р и м е р 20.12. Вычислить	Z	−0,5 2 , взяв первые три члена
	0

разложения подынтегральной функции в ряд Маклорена, оценить погрешность.

Р е ш е н и е. Рассмотрим ряд Маклорена функции

∞			2	3
∑
=		= 1 + +		+	+ . . . +		+ . . .
=0	!	2		3!		!
=0

Чтобы получить разложение подынтегральной функции, выполним замену переменной = −0, 5 2.

−0,5		2	= 1 − 0, 5 2 +	0,	25 4	−	0, 125 6				(−	0, 5 2	)
				0,						+ . . . +				+ . . .
					2			3!		+ . . . +		!		+ . . .
Теперь вычислим:
0,7			0,7			+ 0,		2	)	=
Z	−0,5 ≈ Z (1 − 0, 5 2					+ 0,		2	)	=
			2					25 4

= ( −

0, 5 3

+ 0,

25 5

0,7

= 0, 7 −

0, 5

(0, 7)3

0, 25

(0, 7)5

·10

= 0, 7

0, 057 +

0, 004 = 0, 647.

−

332	Глава 20. Функциональные ряды

Поскольку ряд оказался знакочередующимся, то для оценки погрешности применим следствие 19.1:

3	6 4	=	0,7		0, 125 6	=	0, 125 · (0, 7)7	≈	0, 000245 6 0, 001. 2
3	6 4	=	0,7		6	=	42		0, 000245 6 0, 001. 2
				Z	6		42



				0

Разложить в ряд Маклорена функцию = ( ). Указать область сходимости полученного ряда.

2 .

20.26. =	20.27. =	.

20.28. = − .

20.30. = ln (1 + 2 ).

20.32. =		1				.

			1 − 2
20.34.	=	√
					.
			1 −		2
20.36. = √5							.
				32 +
20.38. =		1						.

		2
			+ 3 + 2
20.40. =			2		.
			+ 1

20.42. = cos 5 .

20.44. = cos 2.

20.46. = arctg .

	2		.
20.29. =
20.31. = ln (1 + 2).
20.33. =	1

	1 + 2 .
20.35. =	√		1				.

		1 + 2
20.37. =	1				.

	2		−	1

20.39. =				1				.

	2		−	3 + 2

20.41. =						.

	4 2 − 1

20.43. = sin 2 .

20.45. = arctg .

20.47. = arctg 2.

20.48. = arcsin .

20.49. = arcsin 2.

§ 20.2. Ряд Тейлора		333

20.50. = ln (6 + − 2).	20.51. = cos2 .
20.52. = sin2 .

Разложить в ряд Тейлора функцию = ( ) в окрестности

указанной точки 0. Указать область сходимости полученного ряда к этой функции.

20.53. = 3		− + 1,				0 = 2.
20.54. = 4		− 3 + 1,				0 = 1.
		0 = 3.
20.55. = ,
20.56. = 2 ,			0 = 1.
20.57. = ln ,				0 = 5.

20.58. = cos ,				0 =			.
						2
20.59. = sin ,				0 = .
20.60. =	1		,	0 = −2.

	− 4
20.61. =	1		,	0 = −1
	+ 2
20.62. =		1			,		0 = −1.

	2	+ 3 − 4

Используя разложение функций в ряд Маклорена, приближенно вычислить с заданной точностью .


20.63.		1	,						= 0, 001.


	1
20.64.		√4						,	= 0, 0001.
					3
20.65. ln 1, 4,									= 0, 001.
20.66. ln 0, 6,									= 0, 001.
	√5						,
20.67.				34					= 0, 001.
	√3					,
20.68.				7					= 0, 001.

334	Глава 20. Функциональные ряды

20.69. sin 18 ,			= 0, 0001.
20.70. arctg 0, 2 ,			= 0, 0001.
20.71. arcsin 0, 4 ,			= 0, 0001.
20.72. cos 0, 2 ,			= 0, 0001.
20.73. ,		= 0, 0001.
20.74.	10		= 0, 0001.

	√1080 ,

Используя разложение подынтегральной функций в ряд Маклорена, приближенно вычислить указанный определенный интеграл с заданной точностью .

	0,2
20.75. Z		√3								,
20.75. Z		√3			1 + 2					,			= 0, 0001.
	0
	0,5
20.76. Z		√							,
20.76. Z		√		1 + 2					,				= 0, 001.
	0
	0,25
	Z	ln (1 + √									) ,		= 0, 001.
20.77.	Z	ln (1 + √									) ,		= 0, 001.
	0
	1
20.78. Z −			2				,					= 0, 0001.
20.78. Z −			2				,					= 0, 0001.
	0
	1
20.79. Z − 2 ,												= 0, 0001.
	0
	1
20.80. Z cos √												= 0, 0001.
20.80. Z cos √								,				= 0, 0001.
	0
	1				4 ,							= 0, 0001.
20.81. Z cos					4 ,							= 0, 0001.
						2
	0
	1 sin
20.82. Z							,					= 0, 001.
20.82. Z							,					= 0, 001.
	0

					§ 20.2. Ряд Тейлора					335

1
20.83. Z 2 sin ,								= 0, 001.
0
0,5			,						= 0, 001.
20.84. Z			,						= 0, 001.
	arctg
0
0,5				,				= 0, 001.
20.85. Z				,				= 0, 001.
	sin2
0
0,8						,			= 0, 001.
20.86. Z	1 −					,			= 0, 001.
		cos
0
20.87. 1	− 1		,					= 0, 001.
Z
0
0,5
20.88. Z	2 cos 3 ,								= 0, 001.
0
0,5							,		= 0, 001.
20.89. Z	− 2						,		= 0, 001.
		arctg
0

Используя разложение функций в ряд Маклорена, найти решение задачи Коши, записав три первых отличных от нуля члена разложения.

20.90. ′ = 2	2 + 1,	(0)	= 1.
20.91. ′ = 2	− 2,	(0) =		1	.
				2
20.92. ′ = + 2,		(0) =	1.
20.93. ′ = − 2,			−
		(0) = 0.
20.94. ′ = + + 2, (0) = 1.
20.95. ′ = 2	2 + sin ,		(0) =			1	.
						2

20.96. ′ = cos + 2 cos ,				(0) = 0.

336 Глава 20. Функциональные ряды

20.97. ′ = + sin ,

(0) = 0.

20.98. ′ = 2 + + 2,	(0) = 1.
20.99. ′ = , (0) = 1.
20.100. ′ = sin − 2,	(0) = 1.
20.101. ′ = + 2 2,	(0) = 0.

ОТВЕТЫ

										(	−2	Глава 1												(		−5					)
										(	−2	−4		)										(		−5				−7	)
1.1.		−1		−3				).			3	2 .							).		1.2.			(				2		−2 .
1.3.	(	−1		−3				).			1.4.			(		2	1		).			1.5.		(		−2				−2	).
	(	3				4							(			8	7			)					(			5		2	)
	(	1		−5			)						(		−3			1		)					(			2		−1	)
1.6.		4		−2 .							1.7.			−2		5		0			.		1.8.					2		7 .
1.9.	2	2		−3 .							1.10.			−2			0		3		.	1.11.		−0						4	.
	(	0			1			)				(		2			1		1	)								1		4
	(							)				(								)								3		−7
	3																							−
																								−
1.12.		−4		−2 .							1.13.			(	17			18		).			1.14.	(				32		1	).
1.12.			3				1							(		1		23		).			1.14.	(			−11			6	).
		−	1				2
		−
					−8				−6														(								).
1.15.		−				17			−3		−4												(	10			19			23	).
						17				3	1
							−9 .				−									.											.
1.17.		6		3			−9 .				1.18.				32			40		.		1.19.				6				10	.
	15			24				9		)					22			23							16					−2
	(									)					36			22							13				− 5
1.20.							.			1.21.																				−
1.20.		16		14			.			1.21.				6			2		.			1.22.		20			10			22 .
		38		18									19				5						(	12			26			14	)
		12		34									−4			−6							(								)

		−6		−												−						.									.
1.23.		−6		−			4	−1			.	1.24.					38			12		.	1.25.						6	5	.
	(	4			13					4	)						36			20									4	8
	(	4			13					4	)						34			38									4	4
	(	−		−						).				(
1.26.	(	19		41				29		).	1.27.			(		45			21		).		1.28.		(		24			17	).
		8		11				17								40			95		1.31.						18			15	.
1.29.		9		7				.		1.30.			45			38			.		1.31.			32			31			47	.
	(	24		13			)					(	61			50		)						35			20			31
	(	24		13			)					(	61			50		)						29			22			29

338	Ответы

1.32.			12			8		5					6		−7			.		1.33.					29	38			40 .
			45			13		6				31			29								(										)
			12			−4		−2			−8				−6								(		43	54			32				)
	−21					13		8				11				9

							.								−
1.34.		14				42	.		1.35.										34			25 .			1.36.						66					81 .
		44				86									(								)						(									)
		67				62									(			−		−			)						(						−			)
1.37.	28				21 .			1.38.							7			13 .					1.39.			19				−4				21		.
	(					)							(		12			12		)						14						4			4
	(					)							(							)						−69					14			86
	25				22																				−
1.40.						−16		.																	−
1.40.			78			−16		.				1.41. =									16		17		,	=							12		39 .
			18			29														(					)					(							)
			32			−−8														(	11		10		)					(				5	14		)
			50			22

	−					−								, =																.
1.42. =						16		52				22		, =									29		66	−17				.
						19		63				28											23		53	−15
				−1 −3									4							−30 69 −14
1.43. = −4								54					−8				, = −30								37			43		.
						36		43					11										−17		16			12
				17 −36										2			.				−37 −2 72														.
1.44. = −							7	−6						−9			.			1.45. = −36												−20			.
							42		3						1											−45							−3
							14	−21					−35												−27									12			.
1.46.			=				−39		−				2 .					1.47.				=			−			9		−21					74		.
						(	17				26			)											−		32						20			4
						(	17				26			)													77						43		56
		(					−			−																				−
1.49. =		(		2170			3020)					, = 19910.
1.48. =				840			1050			, = 26250.
	= (			323			167			)				,	= 7139														20									5
1.50.	=(				2200			1750					)					,	= 19850										20									5
1.54. −7.			(1.55. 2.					1.56. 13. )										1.57. 44.					1.58. −122.										1.59. 158.
1.51.													2250											.	1.52.						.			1.53. .
1.60. 28.			1.61. 36.						1.62. 1								= −3, 2 = 3.								1.63. 1					= 0, 2 = 1.
1.64. 1 = 2,						2 = 3.							1.65. 1						= −4,				2 = 5.				1.66. 1								= −2,
2 =	0.				1.67.				[−2, 3].										1.68.				(−∞, −1] [1, +∞).

Ответы	339

1.69. (−∞, −9] [2, +∞). 1.70. [−8, 1]. 1.71. [−1, 7]. 1.72. −10. 1.73. 4 . 1.74. −2 2. 1.75. −2 . 1.76. −4 3.

1.77. 144. 1.78. 72. 1.79. 3. 1.80. 48. 1.81. −18. 1.82. −228.

1.83. 1. 1.84. −72. 1.85. 55. 1.86. −3. 1.87. 138. 1.88. −172.

	0	0	1
1.89. −1 =	1	0, 5	4, 5	.
	3	1	−−13

1.90. −1 =	−0, 3	−0, 8	0, 2	.
	0, 4	1, 4	0, 6
	−1, 7	−4, 2	−1, 8

312 −4

1.91. −1 =		−2, 5	−10, 25						3, 5			.
		10, 5		43, 25 −14, 5
1.92. −1 = −0, 5			−0, 25				−0, 25			.
		0, 5		1, 25				0, 25
	−0, 5 −3, 75							0, 75
1.93. −1 = −0, 4			12, 2				5, 6		.
		0, 1	−2, 8				1, 4
		0, 1		0, 8			−0, 4
1.94. −1 =		−17	−	3	−		7
		−17		3			7
		5		1			2 .

		47	−8 −19
		1 −1		0			0
1.95. −1 =		0	1	−1			0

		0	0	1			1		.
		0	0	0		−1
		3	12	−2				7
1.96. −1 =		3	7	−2			−5

		−2	−7	1				4	.
		−2	−4	1				3					.
1.97. −1 = −10			−35, 5				−41, 5				15		.
		−13	−46, 5				−54, 5				20
		21		74, 5			87, 5				32
		−2		−7				−8
		−2	−	−7				−8		−	3
			−							−

340	Ответы

1.98. −1 = −31, 8												107, 2			107, 6 −57								.
								5, 4				−18, 6			−18, 8				10
								1, 2				− 3, 8			− 3, 9						2

						21, 4							71, 6		71, 8				38
					−														−
1.99. 5.	1.100. 2.											1.101. 1.			1.102. 4.								1.103. 2.							1.104. 1.
1.105. 6.	1.106.											1	1 .		1.107. −1, 8												1, 4		.
								(			−3 2 )												3, 2 4, 6
								(			−3 2 )											−1, 6 1, 8
											−											−			3			2

	−0, 5				−									1.109.										−
1.108.	−0, 5				−					8		.		1.109.				17					−13				10		.
(	0, 3							6, 4				)					−	20					15				13
(												)					−	8						5			−	4
1.110. −1								.									−										−
1.110. −1					1			.				1.112.			7	5				6				7 .
	2				4										(			−					−			)
	−1			−6											(			−					−			)
	−												1.114. −2						.					1.115.							.
1.113.	0	9				2				5		.	1.114. −2						.					1.115.						0	.
(												)					3													0
(				−								)			−9									.						0			.
1.116.	5		4						8			21 .			1.117. −								0	.			1.118.					6	.
(													)									10										5
(	(	− − −											)									15						−			−2
	(	6										−2		)										(		−		−					)
1.119.	−1, 5							0				−2	3 .			1.120.											3		0, 5 3 5, 5 .
1.121. −6				.							1.124.			rang			=		3.					1.125.					rang			=	2.
		0
1.126. rang =								2.				1.127. rang =									2.					1.128. rang =							3.
1.129. rang = 3.												1.130.			1	0 .					1.131.							0		4	7	11	.
														(			)											1		1	2	3
														(	0	1	)											0		0	9	13
																												0		0	0	1

														1.133.
1.132.	0	−3					1				4		.	1.133.			0			5			−1			.
(	2			1			5					)					2			3				1
(												)					0			0			−3
											6
1.134.												.
1.134.	0			1					2			.	1.135.				0		−1					5		.
	26		30					18									1			1				0
	0			0					1								0			0				5

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 3934 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.07.2019190.98 Кб2Оценка рентабельности и деловой активности.doc
#
24.11.2019166.91 Кб1Очередной ежегодный отпуск.doc
#
20.09.2019174.5 Кб13ОЭБ.docx
#
18.09.20194.36 Mб5ОЭВМиС 2012 все леккции.doc
#
26.03.2016148.51 Кб11П-1 Философия 2014 Каменских.docx
#
26.03.20161.95 Mб355П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике.pdf
#
02.06.201527.11 Кб38Парсонс Т. О понятии политической власти.docx
#
26.03.2016203 Кб12Парсонс, Луман, Бурдье.pdf
#
26.03.201695.69 Кб46ПГ.docx
#
02.06.2015119.4 Кб9Пенская. Билет 17.docx
#
02.06.201583.97 Кб6первая мировая.doc