Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

355

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3931 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

§ 19.1. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды	301

∞	∞
∞	∑
Т е о р е м а 19.1. Если ряды	= 1	+ 2 + . . . + + . . . и
∑	=1
∑	∞
= 1 + 2 + . . . + + . . . сходятся и имеют суммы, соответ-
=1	∑
+ . . . + ( + ) + . . . также	∑	+ , т. е.
ственно равные и , то ряд	( + ) = ( 1 + 1) + ( 2 + 2)+

сходится и его сумма равна

∞		∞	∞
∑		∑	∑
( + ) =			+	.		(19.2)
=1		=1	=1
сходится и имеет сумму .		∞				ряд
сходится и имеет сумму .		∑				ряд
Т е о р е м а 19.2. Пусть ряд		= 1		+ 2	+ . . . + + . . .
		=1
∞	Тогда для произвольного числа
∞
∑ = 1 + 2 + . . . + + . . .			также сходится и его сумма
=1
равна , т. е.

∞∞

∑	∑
=	.	(19.3)
=1	=1

Т е о р е м а 19.3. Если ряд сходится (расходится), то сходится (расходится) и ряд, полученный из данного путем отбрасывания

(или приписывания) конечного числа членов.

П р и м е р 19.1. Найти общий член ряда

+ . . .

Р е ш е н и е. Нетрудно

убедиться,

что

общий член ряда

3 − 2

. Действительно, при

1 получим 1 =

3 · 1 − 2

3 · 1 + 1

3 + 1

при = 2 имеем 2 =

3 · 2 − 2

и т. д.

3 · 2 + 1

∞

его сумму.

∑

( + 2) сходится и найти

П р и м е р 19.2. Показать, что ряд

Р е ш е н и е. Запишем -ю частичную сумму данного ряда:

+ . . . +

1 · 3

2 · 4

3 · 5

( + 2)

302													Глава 19. Числовые ряды

Поскольку -й член ряда можно представить в виде =																																							1			=

																																						( + 2)
= 2	( −	+ 2), то -ю частичную сумму данного ряда можно пре-
1	1	1
образовать следующим образом:																						− 5)+ . . .+ 2 ·(																		+ 2)
= 2 ·(1 − 3)+ 2											·(2				− 4)+ 2 ·(3							− 5)+ . . .+ 2 ·(													−					+ 2)		=
	1	1			1				1		1			1			1			1		1							1						1				1
	= 2 ·				(1 −				3		+ 2				− 4 +			3 − 5 + . . . + − + 2)																					=
				1			1		1		1			1			1			1							1					1
																						· (2
	= 2 · (1 + 2 −								+ 1					− + 2)						= 2		· (2				− ( + 1)( + 2)) =
	1				1						1					1				1 3								+ 1 + + 2
																									(
																					= 2 ·				(		2 −			( + 1)( + 2)).
																						1					3						2 + 3
Значит,
Значит,		= →∞									= →∞					2 ·	(			− ( + 1)( + 2)) = 4,
		= →∞									= →∞					2 ·	(		2	− ( + 1)( + 2)) = 4,
						lim							lim			1			3				2 + 3														3
						lim							lim											3
т. е. данный ряд сходится и его сумма =																								3	.		2
т. е. данный ряд сходится и его сумма =																									.		2
																						4
	Найти частичную сумму данного ряда. В случае сходи-
мости ряда найти его сумму .
				∞			1																				∞					1
			∑																								∑
	19.1.		∑			( + 1).																19.2.					∑			2		−			1.
			=1																								=2
				∞						1																	∞						1
	19.3.		∑													.						19.4.					∑													.
	19.3.		=1			( + 2)( + 3)										.						19.4.					=1			( + 2)										.
			=1																								=1
			∞		(			1						1				).									∞										1						.
	19.5. =1											−										19.6. =1
	19.5. =1						2	−		1		−			2 + 1							19.6. =1								(3			−			2)(3 + 1)
			∑		(			−										).									∑		(				−											).
			∞					1						1													∞							1					1
	19.7. =1											−										19.8. =1																		−
	19.7. =1						2	−		1		−			2 + 1							19.8. =1									5			−			1			−	5 + 4
			∑					−																			∑							−

§ 19.2. Необходимое условие сходимости ряда	303

	∞				6					∞							24
∑										∑
∑		9 2			+ 12	−		5.	19.10.	∑	9 2					−		12		−	5.
19.9.	=1	9 2			+ 12			5.	19.10.	=1	9 2							12			5.
	=1									=1
	∞				4					∞								4
	∑									∑
19.11.	∑		4 2 + 4			−		3.	19.12.	∑	16 2						−		8	−	3.
	=1									=1
19.13.	∞ ln				2 − 1		.		19.14.	∞ ln						3 − 2				.
	=1			(2 + 1)						=1			(			3 + 1)
	∑									∑
	∞		5							∞		2
19.15. =0											(				) .
			2		.				19.16. =0
			2		.				19.16. =0				3
	∑		5		+ 3					∑	2			+ 3
	∞		5		+ 3					∞	2			+ 3
19.17.	∑									∑
	∑									∑
	=0			15 .					19.18.	=0				6 .
				15 .					19.18.					6 .

19.19.	∞		5		− 3					∞	7				− 3
	∑									∑
	∑			15 .					19.20.	∑			21 .
	=0			15 .					19.20.	=0			21 .
	=0									=0

§19.2. Необходимое условие сходимости ряда

∞Т е о р е м а 19.4 (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд

∑

=1 сходится, то предел его общего члена при						→ ∞ равен нулю,
т. е.
		lim = 0.					(19.4)
		→∞
∞ Из	этой теоремы	следует,	что если		предел	общего члена ряда
∑ .	при → ∞ не равен нулю, т.е.					̸= 0, то ряд расхо-
	при → ∞ не равен нулю, т.е.				lim	̸= 0, то ряд расхо-
=1					→∞
дится
П р и м е р 19.3. Исследовать сходимость ряда						∞ ln	2 − 1	.
						∑	2 + 1
						=1
Р е ш е н и е. Найдем предел общего члена ряда при → ∞:
	lim = lim		ln	2 − 1	= ln 1 = 0,
	lim = lim		ln	2 + 1	= ln 1 = 0,
	→∞	→∞		2 + 1

т. е. необходимый признак выполняется. Покажем, что данный ряд расходится.

Представим общий член ряда в виде

2 − 1

= ln 2 + 1 = ln (2 − 1) − ln (2 + 1).

304 Глава 19. Числовые ряды

Тогда -ю частичную сумму данного ряда можно преобразовать следующим образом:

= ln 1 −ln 3 + ln 3 −ln 5 + ln 5 −ln 7 + . . . + ln(2 −1) −ln(2 + 1) =

							= − ln(2 + 1).
Теперь заметим, что lim					=	lim (− ln (2 + 1)) = −∞. Следова-
				→∞		→∞
тельно, ряд расходится.					2
П р и м е р 19.4. Исследовать сходимость ряда							∞	3 − 1	.
							∑
							=1 5 + 1
Р е ш е н и е. Предел общего члена ряда при → ∞ lim→∞ =
= lim	3 − 1	=	3	= 0, т. е. необходимый признак не выполняется,
	3 − 1
			5
→∞ 5 + 1			5	̸
следовательно, ряд расходится.						2

Проверить выполнение необходимого признака сходимости и, где это возможно, сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.

19.21.

∞

2 − 1.

19.22.

∞

2 + 1

∑

2 + 1

2 .

∞

∑

19.23.

−

19.24.

2 2

−

∞

( + 1)2

∞ √

+ 1

19.25.

∑

19.26.

∑

2 + 1

∞ √

∞

9 2 + 1

∑

6 − 1

( + 1)

19.27.

∑

19.28.

√

∞

+ 1

∞

2 + 1

19.29. =2

(

) .

19.30. =1

(

) .

−

∑

(

∑

∞

+ 1

∞

19.31. =2

19.32. =1 ln2 − 1.

∑

−

∑

§ 19.3. Положительные ряды. Теоремы сравнения рядов

305

∞

19.33.

19.34.

∑

+ 1

∑

19.35.

∞ ln3 + 1.

19.36.

∞ sin + 1.

∑

2 + 1

∞

19.37.

∑

sin

3 − 1

sin

+ 1

19.38.

∑

∞

−

∞

+ 1

19.39.

cos

19.40.

cos

−

+ 3

∑

§ 19.3. Положительные ряды. Теоремы сравнения рядов

	∞	> 0			= 1, 2, 3, . . .
Ряд	∑	> 0			= 1, 2, 3, . . .
Ряд	называется положительным, если все его члены по-
	=1
ложительны:			, для всех
Т е о р е м а 19.5 (признак сравнения). Пусть даны два положи-
тельных ряда
		∞
		∑		= 1 + 2 + . . . + + . . .		(19.5)
				= 1 + 2 + . . . + + . . .		(19.5)
		=1
и			∞
			∞
		∑		= 1 + 2 + . . . + + . . .		(19.6)
				= 1 + 2 + . . . + + . . .		(19.6)
		=1
Если для всех номеров справедливо неравенство						6 , то:

а) из сходимости ряда (19.6) следует сходимость ряда (19.5), б) из расходимости ряда (19.5) следует расходимость ряда

(19.6).

Т е о р е м а 19.6 (предельный признак сравнения). Пусть (19.5) и (19.6) — положительные ряды, и пусть существует конечный пре-

дел
lim	= .	(19.7)

→∞

Тогда:

а) если ̸= 0, то оба ряда (19.5) и (19.6) или сходятся или расходятся одновременно,

306	Глава 19. Числовые ряды

б) если = 0, то из сходимости ряда (19.6) следует сходимость

ряда (19.5), а из расходимости ряда (19.5) следует расходимость ряда

(19.6).

«Эталонные ряды» — ряды, часто используемые в качестве рядов

сравнения:

∞

1) геометрический ряд ∑ −1 сходится при | | < 1 и расходит-

ся при | | > 1,

2) гармонический ряд	∞	1	расходится,
2) гармонический ряд	∑		расходится,		1
	∑			∞	1
расходится при 6 1.	=1			∑
3) обобщенный гармонический ряд						сходится при > 1 и
3) обобщенный гармонический ряд				=1		сходится при > 1 и
				=1
П р и м е р 19.5. Исследовать сходимость						геометрического ряда,
т. е. ряда, составленного из членов геометрической прогрессии:
				∞
				∑			( = 0).
+ + 2 + . . . + −1 + . . . =					−1,		( = 0).
							̸

Р е ш е н и е. Из курса элементарной математики известно, что сумма первых членов геометрической прогрессии, т.е. -я частичная

сумма ряда при ̸= 1 определяется соотношением:

= + + 2 + . . . + −1 = ( −1 − 1).− 1

Возможны несколько случаев:

1) если | | < 1, т. е. ряд представляет собой сумму бесконечно убы-

вающей геометрической прогрессии, то						lim	= 0 и, следовательно,
		( −1 − 1)		−		→∞
lim =	lim		=		=		, т. е. предел -й частич-
		− 1		− 1		1 −
→∞	→∞

ной суммы ряда существует и конечен. Следовательно, ряд сходится

и его сумма =				;
		1 −				= ∞, следовательно, lim =		∞ и ряд
2)	если > 1, то		lim
расходится;				→∞			→∞
3)	если 6 −1, то lim				не существует и ряд расходится;
				→∞
4)	если = 1, то ряд примет вид + + . . . + + . . . , его -я
частичная сумма = + + . . . + = и lim							= lim	= ∞,
т. е. ряд расходится.						→∞	→∞

§ 19.3. Положительные ряды. Теоремы сравнения рядов	307

Таким образом, геометрический ряд сходится к сумме =

	1 −
при \| \| < 1 и расходится при \| \| > 1. 2
П р и м е р 19.6. Исследовать сходимость ряда
0, 2 + 0, 02 + 0, 002 + . . .

Р е ш е н и е. Общий член ряда можно представить в виде = = 0, 2 · 0, 1 −1, т. е. исследуемый ряд представляет собой геометриче-

ский ряд с = 0, 1. Так как | | = 0, 1 < 1, то ряд сходится и его сумма

0, 2

1 −

1 − 0, 1

П р и м е р 19.7. Исследовать сходимость ряда

1 +

+ . . . +

+ . . .

2 · 2

3 · 4

· 2 −1

Р е ш е н и е. Воспользуемся признаком сравнения (теорема 19.5). Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом

1 +	1	+		1	+ . . . +		1	+ . . . ,
	2		22			2 −1

знаменатель которого = 12 < 1.

Так как члены исследуемого ряда не превосходят членов сходящегося геометрического ряда:


	6 1,		1		1					1			1						1		1
1					<				,			<				, . . . ,				<		,
			2 · 2					2			3 · 4			22				· 2			2
то на основании признака сравнения ряд сходится.																				2
П р и м е р 19.8. Исследовать сходимость ряда
			1		1								1
		√		+		√				+ . . . +									+ . . .
															√
			2 · 1				3 · 2										· ( − 1)

Р е ш е н и е. Сравним данный ряд с гармоническим рядом

1 + 12 + 13 + . . . + 1 + . . . ,

отбросив в нем первый член, что не повлияет на его сходимость или расходимость (теорема 19.3).

√

, то

= 2

√

= 3

Так как 2 · 1 <

2 · 1

3 · 2 <

308	Глава 19. Числовые ряды

√ · ( − 1) < √ 2 = , то

√

, . . . ,

и т. д.

3 · 2

· ( − 1)

Таким образом, члены исследуемого ряда

√

больше членов расходя-

щегося гармонического ряда, следовательно, на основании признака

сравнения ряд расходится.

∞

2 + 1

∑

−

3 + 5.

П р и м е р 19.9. Исследовать сходимость ряда

Р е ш е н и е. Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим

рядом

∞

. Так как

∑

lim

2 + 1

= lim

(2 + 1)

→∞

→∞ 2 − 3 + 5

→∞

2 − 3 + 5

= 2 = 0,

= lim

2 (2 + )

→∞

2 (1 − +

2 )

то на основании предельного признака сравнения (теорема 19.6) данный ряд (как и гармонический ряд) расходится. 2

С помощью признаков сравнения исследовать на сходимость ряды с положительными членами.

19.41.

∞

2 + 3

+ 1

∑

19.43.

∞

− 2 + 3

−

2 + 5

∑

∞

+ 1

∑

19.45.

√ 3

−

+ 1.

∞

∑

19.47.

=1 sin√ 2 + 1.

∞

∑

19.49.

=1 tg√ 2 + 3.

19.42.	∞		3 − 2		.
19.42.	∑	3 3 + 2			.
	∑
	=1
	=1
	∞
	∑

19.44.		√ 2 + 1.
19.44.	=1	√ 2 + 1.
19.46.	∞ sin
19.46.	∞ sin
	∑			2 .
	=1
	∞
	∑
19.48.	∑	tg3 + 1.
19.48.	=1	tg3 + 1.
	=1
	∞				1
19.50. =1 ln (1 +						2 ).
	∑

§ 19.4. Признаки сходимости положительных рядов	309

	∞				1
	∑
19.51.	∑		ln (1 + ).
19.51.	=1		ln (1 + ).
	=1
	∞		ln (3 + )
19.53.	∑
19.53.	=1				2 .
					2 .

	∞					1
	∑
19.55.			√3			ln (				+ )	.
					5	ln (		1		+ )
	=1				5			1
	=1
	∞
19.57.	∑
19.57.	=1		3 .
			3 .

	∞	1
19.59.	∞		− 1				.
19.59.	∑						.
	∑
	=1
	=1
	∞					3
19.61.	∑	tg							.
19.61.	∑	tg		4 + 1					.
	=1			4 + 1
	=1

19.52.	∞		ln (3 + )						.
19.52.	∑								.
	∑
	=1
	=1
	∞						1
	∑										.
						ln (			+ )
						ln (			+ )
19.54.	=1	√			3			1
	=1
	∞		2
19.56.	∑						.
	∑			−
	=1	3				1
		3				1

	∞	1
	∑
19.58.	∑	3 .
19.58.	=1	3 .
	=1
	∞				+ 2
19.60.	∑	sin
19.60.	∑	sin				5 .
	=1					5 .
	=1
19.62.	∞ cos									.
19.62.	∞ cos									.
	∑				2		−	1
	=1

§ 19.4. Признаки сходимости положительных рядов

1 . Признак Даламбера.

положительными членами существует предел			∞
			∑
Т е о р е м а 19.7 (признак Даламбера). Пусть для ряда			с
			=1
lim	+1	= .	(19.8)

→∞

Тогда:

а) если < 1, то ряд сходится, б) если > 1, то ряд расходится,

в) если = 1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

							∞		2
							∑			.
П р и м е р 19.10. Исследовать сходимость ряда									!	.
						=1			!
						=1
Р е ш е н и е. Запишем -й и ( + 1)-й члены ряда:
=	2	,	+1 =	2 +1	=		2 · 2	.
=		,	+1 =	( + 1) !	=			.
	!			( + 1) !		( + 1) · !

310	Глава 19. Числовые ряды

Найдем предел их отношения при → ∞:
	+1			2 2		2		2
→∞		→∞	(	( +·1) · !			)	→∞
→∞		→∞	(	( +·1) · !		!	)	→∞	+ 1
lim		= lim			:			= lim		= 0 < 1.

Следовательно, на основании признака Даламбера ряд сходится. 2

∞

3 !

∑

П р и м е р 19.11. Исследовать сходимость ряда

Р е ш е н и е. Запишем -й и ( +1)-й члены ряда:

3 !

+1 =

3 +1( + 1) !

3 · 3 ( + 1) !

( + 1) +1

( + 1)( + 1)

Предел их отношения при → ∞ равен:

3 3 ( + 1) !

3 !

→∞

(

+ 1)( + 1)

)

→∞

(

( + 1)

lim

= lim

= 3

→∞ ( + 1)

lim

1 +

> 1.

lim

→∞ (

)

Значит, на основании признака Даламбера ряд расходится. 2

С помощью признака Даламбера исследовать сходимость рядов.

	∞		3
19.63.	∑			.
19.63.	=1		!	.
			!

	∞	2
19.65. =1		(3)			.
	∑
	∞			!
19.67.	∑
19.67.	=1		5 + 2 .
			5 + 2 .

19.69.	∞		(2 − 1)			.
	=1		( + 1) !
	∑

19.64.	∞		(2 − 1) 3					.
19.64.	∑							.
	∑		( + 1) !
	=1		( + 1) !
	∞	2				+ 1
19.66. =1		(			)					.
19.66. =1		(		3	)	2	−		1	.
	∑						−
	∞ ( + 1) !
19.68.
19.68.			5 + .
	=1		5 + .
	∑	! 2
19.70.	∞	! 2

	=1				.
	=1				.
	∑

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3931 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.07.2019190.98 Кб2Оценка рентабельности и деловой активности.doc
#
24.11.2019166.91 Кб1Очередной ежегодный отпуск.doc
#
20.09.2019174.5 Кб13ОЭБ.docx
#
18.09.20194.36 Mб5ОЭВМиС 2012 все леккции.doc
#
26.03.2016148.51 Кб11П-1 Философия 2014 Каменских.docx
#
26.03.20161.95 Mб355П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике.pdf
#
02.06.201527.11 Кб38Парсонс Т. О понятии политической власти.docx
#
26.03.2016203 Кб12Парсонс, Луман, Бурдье.pdf
#
26.03.201695.69 Кб46ПГ.docx
#
02.06.2015119.4 Кб9Пенская. Билет 17.docx
#
02.06.201583.97 Кб6первая мировая.doc