П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике
.pdf
§ 17.3. Дифференциал функции |
261 |
|
|
17.76.Найти градиент функции = в точках (1, 1) и
(1, 5).
17.77.Найти градиент функции = 2 + 2 в точках (1, 2)
и(2, 3).
17.78.Найти градиент функции = 2 в точках (1, 1) и
(2, 2).
17.79.Построить линии уровней и градиент функции = = 4 − 2 − 2 в точке (1, 2).
17.80.Построить линии уровней функции = 2+ 2. Найти
и изобразить графически grad в точках (0, 1), (1, 1), (−1, 1),
(1, 0).
17.81.Построить линии уровней функции = 2 − . Найти
иизобразить графически grad в точках (1, 1), (2, 2), (−1, 1),
(−2, 3).
4
17.82. Построить линии уровней функции = 2 + 2
( = 1, = 2, = 4) и grad в точке (−1, 2).
17.83. Горизонтали возвышенности определяются уравне- нием = 20− 2 − 2. Построить горизонтали, соответствующие
4
отметкам = 19 м и = 16 м. Построить grad в точке (2, 1).
§ 17.3. Дифференциал функции
Функция = ( , ) называется |
дифференцируемой в точке |
||
( , ), если ее полное приращение |
|
|
|
= ( + |
, + |
) − ( , ) |
|
можно представить в виде |
|
|
|
= + + 1 + 2 , |
(17.6) |
||
где и — постоянные числа, а 1, 2 |
→ 0, когда , |
→ 0. |
|
§ 17.4. Экстремумы функций двух переменных |
265 |
|
|
Т е о р е м а 17.3 (необходимое условие экстремума). Пусть функция = ( , ) имеет локальный экстремум в точке 0( 0, 0). Если существуют частные производные первого порядка этой функции в точке 0( 0, 0), то они равны нулю:
|
|
∂ ( 0, 0) |
= 0, |
∂ ( 0, 0) |
= 0. |
(17.10) |
|||||||
|
|
|
∂ |
|
∂ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z |
|
|
z =f(x,y) |
z |
|
y |
|
z =f(x,y) |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y0 |
|
M0(x0,y0) |
|
|
y0 |
|
M0(x0,y0) |
|||||
O |
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|||
|
x0à |
x |
|
|
x0á |
x |
|||||||
Рис. 17.3. Локальный максимум (а) и локальный минимум (б )
Точки, в которых существуют непрерывные частные производные функции ( , ) и они равны нулю, называются критическими
или стационарными точками , или точками возможного экстремума данной функции.
Т е о р е м а 17.4 (достаточное условие экстремума). Пусть функция = ( , ) в некоторой окрестности точки 0( 0, 0) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, и пусть 0( 0, 0) — стационарная точка, т. е. ( 0, 0) = 0. Обозначим
|
|
∂2 ( 0, 0) |
∂2 ( 0, 0) |
|
∂2 |
( 0, 0) |
|
|||||||
= |
|
|
|
|
|
, = |
|
|
, |
= |
|
|
. |
|
|
|
∂ 2 |
|
|
|
|
∂ 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ ∂ |
|
|
|
||||
Тогда: |
|
|
|
= − 2 |
> 0, то точка 0( 0, 0) локальный |
|||||||||
1) если |
||||||||||||||
экстремум, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) локальный |
максимум |
при < 0, |
|
|
|
|
||||||||
б) локальный минимум при > 0; |
|
|
|
|
||||||||||
2)если − 2 < 0, то в точке 0( 0, 0) нет экстремума;
3)если − 2 = 0, то вопрос о наличии экстремума в точке
0( 0, 0) остается открытым.
§ 17.5. Экономическое приложение частных производных |
267 |
|
|
17.112. = (1 − − ).
17.113. = 3 + 3 − 9 + 27.
17.114. Определить размеры прямоугольного открытого бассейна, имеющего наименьшую поверхность при условии, что его объем равен .
17.115. Из всех прямоугольников, имеющих периметр , найти тот, площадь которого максимальна.
17.116. При каком условии сумма двух положительных чисел будет наименьшей, если их произведение есть величина постоянная > 0?
§ 17.5. Экономическое приложение частных производных
Обозначим через и — количество товаров I и II видов. Пусть1 и 2 — цены этих товаров, а затраты на производство этих товаров задаются дифференцируемой функцией издержек = ( , ). Тогда функция прибыли имеет вид
Π( , ) = 1 + 2 − ( , ).
Максимальная прибыль будет достигаться в точке локального максимума функции Π( , ), найденной при условии > 0 и > 0.
Эту точку определяют из системы
|
|
|
|
1 = |
∂ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∂ |
(17.11) |
||
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
|
, |
|
|
|
|
|
∂ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
∂ |
|
|
|
|
|
единиц продук- |
|
— предельные издержки на производство |
||||||
∂ |
|||||||
ции I вида, а |
∂ |
— предельные издержки на производство единиц |
|||||
∂ |
|||||||
продукции II вида. Равенства (17.11) демонстрируют одно из известных правил экономики: предельная стоимость (цена) товара равна предельным затратам на производство этого товара .
268 Глава 17.Дифференциальное исчисление функций многих переменных
П р |
и м е р 17.10. Пусть производится два вида товаров по цене |
1 = 28 |
за I вид и 2 = 10 за II вид товара. Определить при прода- |
же какого количества товара I вида ( ) и количества товара II вида |
|
( ) прибыль будет максимальной, если затраты на производство этих |
|
товаров задаются функцией ( , ) = 8 2 + 4 + 2. |
|
||||
Р е ш е н и е. Функция прибыли будет иметь вид Π( , ) = |
28 + |
||||
+10 − 8 2 − 4 − 2. |
|
|
|
||
Чтобы определить локальный максимум функции Π( , ), следу- |
|||||
ет найти предельные издержки на производство данных товаров: |
|||||
|
∂ |
= 16 + 4 , |
∂ |
= 4 + 2 . |
|
|
|
|
|
||
|
∂ |
∂ |
|
||
Применяя формулу (17.11) и решая систему
{
16 + 4 = 28,
4 + 2 = 10,
получим = 1, = 3.
Достаточные условия локального экстремума приводят к расчету вторых частных производных функции Π( , ):
= |
∂2Π |
= −16, |
∂2Π |
= 0, |
∂2Π |
= −2. |
||
∂ 2 |
∂ ∂ |
|
∂ 2 |
|
||||
Так как = 32 > 0 и < 0, то (см. теорему 17.4), мож-
но утверждать, что в точке с координатами = 1 и = 3 функ-
ция прибыли достигает своего максимума, и этот максимум равен
Πmax = 28 · 1 + 10 · 3 − 8 · 12 − 4 · 1 · 3 − 32 = 29.
Итак, при продаже 1 единицы товара I вида и 3 единиц товара II
вида будет достигнута максимальная прибыль. 2
Найти максимальную прибыль Π от продажи товара I вида по цене 1 и товара II вида по цене 2, учитывая, что функция издержек равна ( , ) и > 0, > 0.
17.117. ( , ) = + 2 − + + 2 |
, |
1 = 10 ден.ед., |
||||||
2 = 4 ден.ед. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
17.118. ( , ) = |
|
|
|
+ 2 + |
, |
1 |
|
= 32 ден.ед., 2 = |
2 |
|
|||||||
= 24 ден.ед.
|
§ 17.6. Метод наименьших квадратов |
|
|
269 |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
17.119. ( , ) = 2 + + 2, |
1 = |
8 ден.ед., 2 = |
||||
= 10 ден.ед. |
|
|
|
|
|||
|
17.120. ( , ) = + 2 − + + 2 − 5, |
1 |
= 9 |
ден.ед., |
|||
2 |
= 42 ден.ед. |
|
|
|
|
||
|
17.121. ( , ) = 7 + 2 − √ |
|
− 5 + 2, |
1 |
= 4 |
|
|
|
|
ден.ед., |
|||||
2 |
= 6 ден.ед. |
|
|
|
|
||
|
17.122. ( , ) = 24 −3 2 + 3 + 4 + 3 2, |
1 = 24 |
ден.ед., |
||||
2 |
= 16 ден.ед. |
|
|
|
|
||
§ 17.6. Метод наименьших квадратов
Одной из наиболее важных задач, с которыми сталкиваются в своей деятельности экономисты, является задача поиска аналитического приближения опытных данных.
Пусть зависимость между двумя величинами и , полученная опытным путем, представлена в следующей таблице:
|
1 |
2 |
· · · |
|
|
1 |
2 |
· · · |
|
Необходимо подобрать функцию = ( ) так, чтобы она наиболее
точно отражала основные тенденции зависимости между величинами
и .
Пусть табличные данные ( , ) приближены функцией = ( ). Тогда для каждого значения можно найти теоретическое значение( ). Таким образом, в каждой точке можно рассмотреть откло- нение теоретических значений от опытных: ( ) − .
Один из общепринятых методов оценки погрешности приближенного вычисления состоит в рассмотрении суммы квадратов отклоне-
ний: |
|
|
|
∑ |
|
= |
( ( ) − )2. |
(17.12) |
|
=1 |
|
Метод наименьших квадратов утверждает, что |
у наилучшей |
|
эмпирической функции сумма квадратов отклонений эмпирических данных от вычисленных наименьшая .
Предположим, что в качестве эмпирической функции = ( ) взята линейная функция = + . В этом случае задача поиска
