П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

∞4 · 5 · 6 · . . . · ( + 3)

∑

19.74.=1 5 · 7 · 9 · . . . · (2 + 3).

∞1 · 6 · 11 · . . . · (5 − 4)

∑

19.75.=1 3 · 7 · 11 · . . . · (4 − 1).

∞2 · 5 · 8 · . . . · (3 − 1)

∑

19.76.=1 3 · 7 · 11 · . . . · (4 − 1).

Тогда:

а) если < 1, то ряд сходится, б) если > 1, то ряд расходится,

в) если = 1, то вопрос о сходимости ряда остается откры-

3 . Интегральный признак Коши.

Т е о р е м а 19.9 (интегральный признак Коши). Пусть функция

( ) непрерывна, неотрицательна и не возрастает на полупрямой> 1. Тогда числовой ряд

∞

влетворяет всем требованиям интегрального признака Коши. Исследуем на сходимость несобственный интеграл

= lim (ln ln( + 1) − ln ln(1 + 1)) = ∞.

→∞

Интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд. 2

С помощью интегрального признака Коши исследовать сходимость рядов.

лении суммы сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена, т. е. 6 +1.

П р и м е р 19.14. Исследовать сходимость ряда

Р е ш е н и е. Покажем, что члены ряда, взятые по абсолютной величине, представляют собой убывающую числовую последовательность. Для этого запишем общий член ряда в виде:

Сравним знаменатели последних дробей. Очевидно, что + 1 < + +1+ +1 1 или 1 < 1+ +1 1 справедливо для любого натурального

и, следовательно, первое условие признака Лейбница выполнено, т. е.

> +1.

Теперь вычислим предел общего члена при → ∞:

Р е ш е н и е. Прежде всего заметим, что согласно признаку Лейбница ряд сходится. Определим, какое число членов ряда надо взять, чтобы вычислить сумму ряда с указанной точностью. По условию< 0, 001. Учитывая следствие теоремы Лейбница, запишем более

Т е о р е м а 19.12 (Дирихле). Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него произвольной перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

∞

3 . Условно сходящиеся ряды. Теорема Римана . Ряд ∑

=1

называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, а ряд

∞

∑

| |, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

=1

Т е о р е м а 19.13 (Риман). Если ряд сходится условно, то каким бы ни было наперед заданное число , конечное или равное ±∞, мож-

но так переместить члены этого ряда, чтобы полученный ряд имел сумму .

сходится.

Следовательно, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно. 2

П р и м е р 19.17. Исследовать на абсолютную и условную сходи-

Г л а в а 20

Функциональные ряды

§ 20.1. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости

1 . Понятие функционального ряда. Область сходимо-

сти. Формально записанная сумма бесконечного числа функций ( ),= 1, 2, 3 , . . . , определенных на одном и том же множестве R,

называется функциональным рядом :

∞

=0

где — постоянные числа, называется степенным рядом. Числа

0, 1, 2, . . . называются коэффициентами степенного ряда .

Т е о р е м а 20.1 (Абеля). Если степенной ряд (20.1) сходится в точке = 0 ̸= 0, то он сходится, притом абсолютно, для всех ,

удовлетворяющих неравенству | | < | 0|.