П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике
.pdf§ 16.5. Геометрические приложения определенного интеграла |
251 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16.133. = 2, |
= √ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
16.134. = |
1 − 2, |
|
= 0, |
|
= 0. |
|
|
|
||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
= 2 − √ |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
16.135. = |
+ 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Вычислить объем тела , полученного вращением вокруг |
||||||||||||||||||||
оси фигуры, ограниченной линиями. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
16.136. |
|
|
|
, |
= |
4 |
, |
= 0 |
. |
|
||||||||||
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||
|
= 2 − |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
16.137. = ln , |
|
= 2 − ln , |
|
= 0. |
|
|
||||||||||||||
16.138. = √3 |
|
, |
= 0, |
= 8. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
16.139. = √3 |
|
, |
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Г л а в а 17
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§ 17.1. Функции многих переменных. Предел и непрерывность
1 . Понятие функции многих переменных. Пусть — неко-
торое непустое множество упорядоченных пар действительных чисел
( , ).
Если в силу определенного закона каждой паре ( , ) поставлено в соответствие некоторое действительное число , то говорят, что дана функция = ( , ) от двух переменных и , определенная на множестве со значениями в множестве R всех действительных чисел. При этом и называются независимыми переменными (аргументами), а — зависимой переменной (функцией) .
Множество = ( ) называется областью определения функции двух переменных = ( , ). Множество значений, принимаемых функцией , называется областью изменения этой функции и обозначается ( ) или .
Аналогично можно определить и функцию от переменных
= ( 1, 2, . . . , ), где — некоторое натуральное число. Обла-
стью определения этой функции является некоторое подмножество
-мерного векторного пространства Rn.
Множество Γ = {( , , ) R3, ( , ) , = ( , )} называется
графиком функции двух переменных = ( , ).
Линией уровня функции двух переменных = ( , ) называ-
ется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одинаковое и равно : ( , ) = .
П р и м е р 17.1. Найти область определения функции =
√
=( − 1)( + 2).
§ 17.1. Функции многих переменных. Предел и непрерывность |
253 |
|
|
Р е ш е н и е. Чтобы квадратный корень имел действительные значения, его подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решая неравенство ( − 1)( + 2) > 0, находим, что:
|
{ |
+ 2 > 0, или |
2) |
{ |
+ 2 6 0. |
|
|
||
1) |
|
− 1 |
> 0, |
|
|
|
− 1 6 0, |
{ |
|
Решением |
первой |
системы |
неравенств будет |
> −2, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 1, |
{
6 1,
авторой — 6 −2.
Чтобы получить изображение искомой области на координатной плоскости, достаточно провести две прямые = 1 и = −2. Получен-
ные решения показывают, что область состоит из двух квадрантов с общей вершиной в точке (1, −2) (рис. 17.1). 2
Рис. 17.1 |
Пр и м е р 17.2. Построить семейство линий уровня для функции
= 2 + 2 − 2 .
Р е ш е н и е. Линия уровня = — это кривая на плоскости , задаваемая уравнением 2 + 2 − 2 = или 2 + ( − 1)2 =
= +1. Это уравнение окружности с цент-
√
ром в точке (0, 1) и радиусом + 1. Точка (0, 1) — это вырожденная линия уровня, соответствующая = −1.
Итак, линии уровня данной функции — концентрические окружности, радиус котоРис. 17.2 рых увеличивается с ростом (рис. 17.2). 2
§ 17.1. Функции многих переменных. Предел и непрерывность |
255 |
|
|
следует
| ( , ) − | < .
В этом случае пишут:
|
|
|
|
|
lim |
( , ) = lim ( , ) = . |
(17.1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
→ |
|
0 |
|
→ 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ 0 |
|
|
|
|
||||
Т е о р е м а 17.1. |
|
|
Пусть |
функции |
двух переменных |
( , ) |
||||||||||
и ( , ) имеют конечные пределы в точке 0( 0, 0). |
|
|||||||||||||||
Тогда справедливы равенства |
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim [ ( , ) |
± |
( , )] = |
lim |
( , ) |
|
lim ( , ), |
(17.2) |
|||||||||
→ 0 |
|
|
|
|
→ 0 |
|
|
± → 0 |
|
|||||||
→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
→ 0 |
|
|
|
→ 0 |
|
|||
|
lim [ ( , ) |
· |
( , )] = |
lim |
( , ) |
· |
lim ( , ), |
(17.3) |
||||||||
|
→ 0 |
|
|
|
|
→ 0 |
|
|
→ 0 |
|
||||||
|
→ 0 |
|
|
|
|
|
|
→ 0 |
|
|
|
→ 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ( , ) |
( |
|
|
) |
|
|||
|
→ |
0 |
( , ) |
|
|
|
|
→ 0 |
|
|
→ |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
→ 0 |
|
|
|
||||||||
lim |
|
= |
|
|
|
|
lim ( , ) = 0 . |
(17.4) |
||||||||
→ 0 |
( , ) |
|
|
|
|
lim ( , ) |
→ 0 |
̸ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ 0
Функция = ( , ) называется непрерывной в точке 0( 0, 0), если предел этой функции в точке 0( 0, 0) существует и равен зна-
чению ( 0, 0), т. е. если справедливо равенство |
|
lim ( , ) = ( 0, 0). |
(17.5) |
→ 0 |
|
→ 0
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.
Функция = ( , ) называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке своей области определения.
П р и м е р 17.3. Найти предел |
lim |
ln(1 − 2 − 2) |
. |
|||
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
√ и |
заметим, что условие |
|||
|
→0 |
|
2 |
+ 2 |
||
|
→0 |
|
|
|
|
|
→ 0, → 0 равносильно |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Р е ш е н и е. Обозначим |
|
|
+ |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
условию |
|
|
|
. Теперь вычислим: |
||||||||||
→0 |
|
2 + 2 |
→0 |
|
|
|
|
|
→0 |
[ |
′ |
] |
′ |
|
|
||||
lim |
ln(1 − 2 − 2) |
= lim |
ln(1 − 2) |
= lim |
ln(1 − 2) |
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
→ |
√ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· (−2 ) |
|
−2 |
= 0. 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
= lim |
|
1 − 2 |
= lim |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
|
|
1 |
|
|
→0 |
1 − |
|||||
§ 17.2. Частные производные |
257 |
|
|
17.32. = |
|
2 − 3 |
. |
|
= |
− 2 |
|
|||
2 |
+ 2 − 4 |
17.33. |
||||||||
+ 2 . |
||||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
17.34. = |
|
|
|
|
17.35. = |
|
+ |
. |
||
2 |
+ 2 . |
|
||||||||
|
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||
17.36. = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 17.2. Частные производные
Пусть = ( , ) — функция двух переменных. Разности
= ( + , ) − ( , ),
= ( , + ) − ( , ).
называются частными приращениями функции ( , ) в точке( , ) соответственно по и .
Если существует предел отношения |
|
при |
→ 0, то он |
|
называется частной производной (первого порядка) по функции
= |
|
( , ) |
в |
точке ( , ) и |
обозначается через ′ , |
∂ |
, |
′ ( , ) |
|||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
∂ ( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
||
или |
|
. Аналогично определяется понятие частной производ- |
|||||||||||||||
|
∂ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной (первого порядка) по . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Итак, по определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
′ ( , ) = |
∂ ( , ) |
= |
lim |
|
|
|
= |
lim |
( + |
, ) − ( , ) |
. |
||||||
∂ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
→0 |
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
||||
′ ( , ) = |
∂ ( , ) |
= |
lim |
|
|
= |
lim |
( , + |
) − ( , ) |
. |
|||||||
∂ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
→0 |
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
||||
Частные производные вычисляются по обычным правилам и формулам дифференцирования функций одной переменной, поскольку при фиксированном аргументе (соответственно, ) функция
= ( , ) превращается в функцию одной переменной (соответственно, ).
