П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике
.pdfГ л а в а 15
Неопределенный интеграл
§ 15.1. Первообразная и неопределенный интеграла
Функция ( ) называется первообразной функцией или просто
первообразной для функции ( ) на интервале ( , ), если для любого( , ) справедливо равенство ′( ) = ( ).
Понятие первообразной для функции ( ) на бесконечных интервалах определяется аналогично.
Т е о р е м а 15.1. Если 1( ) и 2( ) — две произвольные первообразные одной и той же функции ( ) на интервале ( , ), то всюду на этом интервале 1( ) − 2( ) = , где — некоторая постоянная.
Иными словами, две произвольные первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга постоянным числом.
Семейство всех первообразных функций ( ) называется неопределенным интегралом функции ( ) и обозначается
Z
( ) .
Z
В последнем обозначении знак называется знаком интеграла,
( ) называется подынтегральным выражением , — переменной интегрирования, а сама функция ( ) — подынтегральной функцией .
Итак, если ( ) — некоторая первообразная для функции ( ), то Z
( ) = ( ) + ,
где — произвольная постоянная.
|
§ 15.2. Замена переменной в неопределенном интеграле |
215 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 15.2. Вычислить интеграл |
|
|
2 − 1 |
. |
|
|||
|
Z 2 − + 1 |
|
|||||||
|
Р е ш е н и е. Имеем: |
|
|
|
|||||
Z |
2 − 1 |
= |
( 2 − + 1) |
= |
|
|
= |
|
|
2 − + 1 |
2 − + 1 |
|
|
|
|||||
Z |
Z |
|
|
|
|
||||
|
|
|
= ln | | + = ln | 2 − + 1| + . |
2 |
|||||
|
П р и м е р 15.3. Вычислить интеграл Z sin2 cos . |
|
|||||||
Р е ш е н и е. Имеем:
Z Z Z
sin2 cos = sin2 sin = 2 =
= |
3 |
+ = |
sin3 |
+ . 2 |
3 |
|
|||
|
3 |
|
||
2 . Метод подстановки. Этот метод основан на следующей теореме.
Т е о р е м а 15.2. Пусть функция ( ) интегрируема на интервале ( , ), где = ( ) — дифференцируемая на интервале ( , ) функция, множество значений которой совпадает с интервалом ( , ). Предположим, что функция ( ) является первообразной для функ-
ции ( ) на интервале ( , ), т. е.
Z
( ) = ( ) + .
Тогда на интервале ( , ) для функции [ ( )] ′( ) существует
первообразная, равная функции [ ( )], т. е.
Z
[ ( )] ′( ) = [ ( )] + .
|
П р и м е р 15.4. Вычислить интеграл |
Z + √ . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Р е ш е н и е. Произведем подстановку = √ |
|
. Тогда = 2, = |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
= 2 . Теперь вычислим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
( + 1) |
|
|
|
|
|
|||||||||
Z |
+ √ |
|
= Z |
|
= 2 Z |
|
|
= 2 Z |
|
|
= |
|
|
|
|||||
2 + |
( + 1) |
+ 1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 2 ln | + 1| + = 2 ln |
√ |
|
+ 1 |
+ . 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 15.3. Метод интегрирования по частям |
217 |
|
|
§ 15.3. Метод интегрирования по частям
Этот метод основан на следующей теореме.
Т е о р е м а 15.3. Пусть функции ( ) и ( ) дифференцируемы,
а функция ( ) ′( ) интегрируема на интервале ( , ). |
( ) ′( ), |
|
Тогда на этом интервале интегрируема и функция |
||
причем справедлива формула |
|
|
Z ( ) ′( ) = ( ) ( ) − Z ( ) ′( ) , |
|
|
или в краткой записи |
Z = − Z . |
|
|
(15.1) |
|
Формула (15.1) называется формулойZ интегрирования по час-
тям. Она сводит вычисление интеграла к вычислению инте-
Z
грала . В ряде конкретных случаев вычисление последнего ин-
теграла оказывается существенно более простым, чем вычисление исходного интеграла.
|
Формула (15.1) может применяться неоднократно. |
|
|||||||||||
|
П р и м е р 15.5. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z sin 2 . |
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е. |
Обозначим |
= , а |
|
= sin 2 . Тогда |
= |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
cos 2 , а = . Теперь применим формулу (15.1) интегри- |
|||||||||||
2 |
|||||||||||||
рования по частям: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Z |
1 |
1 |
|
Z cos 2 = − |
1 |
1 |
|
|
|||||
sin 2 = − |
|
cos 2 + |
|
|
|
cos 2 + |
|
sin 2 + . |
2 |
||||
2 |
2 |
2 |
4 |
||||||||||
П р и м е р 15.6. Вычислить интеграл
Z
ln .
Ре ш е н и е. Применим формулу (15.1) интегрирования по частям:
Z ln = |
1 |
Z ln 2 |
= |
1 |
2 ln − |
1 |
Z 2 ln = |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||
|
2 |
1 |
Z = |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||
= |
|
|
ln − |
|
|
|
|
ln − |
|
+ = |
|
(2 ln − 1) + . 2 |
|||||
|
2 |
2 |
2 |
4 |
4 |
||||||||||||
220Глава 15. Неопределенный интеграл
Ре ш е н и е. Для нахождения частного и остатка применим алгоритм деления многочленов «столбиком»:
3 − + 3 |
2 + − 1 |
|
− 3 + 2 − |
|
− 1 |
−2 + 3
−2 − + 1
+ 2
Итак,
( ) = |
3 − + 3 |
= |
− |
1 + |
+ 2 |
|
. 2 |
|||
|
2 + |
|
|
|||||||
|
2 + |
− |
1 |
|
|
− |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Чтобы проинтегрировать правильную рациональную дробь
( )
( ) , следует предварительно разложить ее в сумму так называемых простейших дробей. Справедлива следующая важная теорема.
( )
Т е о р е м а 15.4. Пусть ( ) = ( ) — правильная рациональная дробь. Предположим, что знаменатель ( ) разложен на линейные и неприводимые квадратные множители :
( ) = ( − 1) 1 ( − 2) 2 . . . ( − ) ×
×( 2 + 1 + 1) 1 ( 2 + 2 + 2) 2 . . . ( 2 + + ) =
|
∏ |
∏ |
= |
( − ) |
( 2 + + ) . |
|
=1 |
=1 |
Тогда правильную рациональную дробь ( ) = ( ) можно
( )
представить, и притом единственным образом, в виде следующей