П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

Полученные ряды расходятся, поскольку для них не выполнено необ-

ходимое условие сходимости.

∞

Таким образом, областью сходимости степенного ряда ∑ ·

=1

будет интервал (−1, 1). 2

Р е ш е н и е. Находим радиус сходимости данного степенного ряда:

Следовательно, при (−5, 5) данный степенной ряд сходится абсолютно, а при (−∞, −5) (5, +∞) ряд расходится. Неисследованными остались две точки = −5 и = 5. Рассмотрим числовые ряды, возникающие при подстановке этих точек в данный степенной ряд:

Ряд (20.6) сравним со сходящимся обобщенным гармоническим

∑

∞ 1

рядом =1 2 . Так как для произвольного = 1, 2, . . . справедливо

неравенство

то ряд (20.6) также сходящийся согласно признаку сравнения (теорема 19.5).

Теперь заметим, что ряд (20.5) сходится абсолютно, поскольку ряд, составленный из абсолютных величин его членов, совпадает со

∑

∞ 3 ·

П р и м е р 20.3. Найти область сходимости ряда =1 + 3 .

Р е ш е н и е. Находим радиус сходимости данного степенного ряда:

при подстановке этих точек в данный степенной ряд:

∑

∞ 1

Ряд (20.8) сравним с гармоническим рядом =1 . Так как

то, согласно предельному признаку сравнения (теорема 19.6), ряды ведут себя одинаково. Гармонический ряд расходится, следовательно, ряд (20.8) тоже расходится.

По признаку Лейбница знакочередующийся ряд (20.7) сходится. Эта сходимость условная, поскольку ряд, составленный из абсолютных величин его членов, совпадает с расходящимся рядом (20.8).

∑

∞ 3 ·

Итак, областью сходимости степенного ряда =1 ( + 3) будет по-

∞

Если дан ряд вида ∑ ( − 0) , то его радиус сходимости

=0

также определяется по формуле 20.3 (см. теоремы 20.3 и 20.4), а интервалом сходимости будет интервал с центром в точке = 0:

( 0 − , 0 + ).

П р и м е р 20.4. Найти область сходимости степенного ряда

Р е ш е н и е. Найдем радиус сходимости данного ряда:

∞

равенство ∑ · 0 = ( 0) .

=1

Степенные ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы (многочлены). В частности, справедливы следующие теоремы.

=1

Иначе говоря, степенной ряд на интервале сходимости можно дифференцировать почленно, причем получающийся степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Иными словами, степенной ряд можно интегрировать почленно на отрезке [0, ] (| | < ), причем получающийся степенной ряд имеет

тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

С л е д с т в и е 20.1. Степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз.

Р е ш е н и е. Выше было показано (см. пример 19.5), что область сходимости этого ряда (−1, 1) и при каждом из области сходимости

Р е ш е н и е. Выше было показано, что область сходимости этого ряда интервал (−1, 1) (см. пример 20.1). Для вычисления суммы ря-

§ 20.2. Ряд Тейлора

Представление функции в виде суммы степенного ряда или, иными словами, разложение функции в степенной ряд имеет важное теоретическое и практическое значение.

Пусть функция ( ) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки 0. Степенной ряд

называется рядом Тейлора функции ( ) в точке 0. Если ряд Тейлора (20.11) сходится к ( ) для произвольного (− , ), т. е.

( ) = ( 0)+ ′( 0)( − 0)+ ′′( 0)( − 0)2+. . .+ ( )( 0)( − 0) +. . . , 2! !

то говорят, что функция ( ) разлагается в ряд Тейлора.

Т е о р е м а 20.8. Пусть ( ) — бесконечно дифференцируемая в некоторой окрестности точки 0 функция. Для того чтобы в этой окрестности ( ) можно было разложить в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора

( ) = ( 0) + ′( 0)( − 0) + ′′( 0)( − 0)2 + . . .

2!

стремился к нулю для всех точек указанной окрестности при

→ ∞: lim ( ) = 0.

→∞

В случае, когда 0 = 0, функция ( ) разлагается в ряд непосредственно по степеням :

П р и м е р 20.7. Разложить функцию = ln(1 + 2) в ряд Маклорена.

Р е ш е н и е. Воспользуемся готовым разложением для функции= ln(1 + ), заменяя в нем переменную на 2. Таким образом,

получим:

Очевидно, что область сходимости этого ряда (−1, 1). 2

П р и м е р 20.8. Разложить функцию = arctg в ряд Маклорена.

Р е ш е н и е. Разложение для этой функции можно получить не вычисляя непосредственно коэффициенты ряда с помощью производных. Для этого рассмотрим геометрический ряд

со знаменателем = − , который сходится при | | = |− | = | | < 1, т.е. при −1 < < 1 к функции ( ) = 1 +1 .

Заменив в ряде переменную на 2, получим