П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

Так как ∂ = ∂ , то это уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию ( , ) по ее частным производным:

∂∂ = ( , ) = − ,

следовательно

Z

( , ) = − + ( ) = − + ( ) .

Для определения ( ) продифференцируем найденную функцию( , ) по и приравняем к функции ( , ) = 1 − − :

∂∂ = − − + ′ ( ) = 1 − − .

Откуда ′ ( ) = 1, или ( ) = + 1. Тогда ( , ) = − + + 1. Общим интегралом заданного уравнения будет − + + 1 = 2,

или

− + = ,

где = 2 − 1. 2

Решить дифференциальные уравнения.

18.37.3 2 + ( 3 − 1) = 0.

18.38.(1 − − ) + − = 0.

18.39.(2 + ) + ( + 2 ) = 0.

18.40.(2 − 5) + (3 2 + 2) = 0.

в общем решении (18.18) соответствующего однородного уравнения (18.17) заменяют функцией ( ) и ищут общее решение неод-

нородного уравнения (18.16) в виде

R

= ( ) − ( ) . (18.19)

П р и м е р 18.7. Методом вариации произвольной постоянной решить уравнение

′ + 2 = 2 − 2 .

Ре ш е н и е. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение

′ + 2 = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными, общее

решение которого имеет вид = − 2 .

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде

= ( ) − 2 ,

где ( ) — неизвестная функция от . Имеем:

′ = ′( ) − 2 − 2 ( ) − 2 .

Подставляя значения и ′ в наше уравнение, получим

′( ) − 2 − 2 ( ) − 2 + 2 ( ) − 2 = 2 − 2 .

Откуда имеем: ′ ( ) = 2 , ( ) = 2 + .

Таким образом, общим решением данного неоднородного уравне-

ния будет:

= ( 2 + ) − 2 ,

где — произвольная постоянная. 2

2. Метод подстановки (метод Бернулли ). Суть этого метода заключается в том, что искомое решение неоднородного уравнения (18.16) представляется в виде произведения двух функций:

= ( ) ( ),

где одна из функций ( ) и ( ) ненулевая и может быть выбрана

произвольным образом.

Подставляя функцию = в уравнение (18.16), получим

′ + ′ + ( ) = ( )

§ 18.6. Дифференциальные уравнения высших порядков

1 . Основные понятия. Задача Коши. Дифференциальные

уравнения порядка выше первого называются дифференциальными уравнениями высших порядков .

Дифференциальное уравнение -го порядка имеет вид

Задача Коши для дифференциального уравнения (18.22) состоит в поиске решения ( ), удовлетворяющего заданным начальным

условиям

( 0) = 0, ′( 0) = 10, . . . , ( −1)( 0) = 0−1. (18.23)

Общим решением уравнения (18.22) называется функция =

=( , 1, . . . , ), удовлетворяющая следующим условиям:

1)при любых допустимых значениях постоянных 1, . . . , функция = ( , 1, . . . , ) является решением уравнения (18.22),

2)какова бы ни была задача Коши с начальными условиями (18.23), существуют такие постоянные 1, . . . , , что функция

= ( , 1, . . . , ) является решением этой задачи Коши.

2 . Уравнения, допускающие понижение порядка. Одним

из методов интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков является метод понижения порядка. Суть этого метода заключается в сведении дифференциального уравнения -го порядка к

дифференциальному уравнению более низкого порядка путем введения новой неизвестной функции.

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений, к которым можно применить указанный метод.

а) Дифференциальное уравнение вида ( ) = ( ). Общее решение этого уравнения находится последовательным интегрированием:

Пр и м е р 18.9. Решить дифференциальное уравнение

′′ = 2 + .

Р е ш е н и е. Последовательно интегрируя два раза, получим

Z

′ = (2 + ) = 2 + + 1,

Z

= ( 2 + + 1) = 3 + + 1 + 2. 2

3

= ( , 1, . . . , − ) полученного уравнения, то искомая функция = ( ) получается путем -кратного интегрирования функции

( , 1, . . . , − ).

П р и м е р 18.10. Найти общее решение дифференциального урав-

нения

′′ − ′ − 2 sin = 0.

Р е ш е н и е. Данное уравнение не содержит явно функцию , по-

порядка. Используя подстановку ( ) = ( ) ( ), приводим полученное дифференциальное уравнение к виду

( )

′ − + ′ = sin .

= (− cos + 1). Интегрируя еще раз, получаем общее решение исходного дифференциального уравнения:

Z

( ) = (− cos + 1) = − sin − cos + 21 2 + 2. 2

в) Уравнения вида ( , ′, . . . , ( )) = 0, т. е. уравнения, не со-

держащие явно независимой переменной. Порядок этого уравнения понижается на единицу при замене ′ = ( ), ′′ = и т. д.

П р и м е р 18.11. Найти решение задачи Коши

Последнее уравнение является линейным уравнением первого порядка. Решая его (скажем, методом Бернулли), получим общее решение

Подставляя начальные условия в это равенство, получим: 2 = 2 +2.

Откуда находим: = 0.

Итак, уравнение (18.25) принимает вид ′ = . Общим решением этого уравнения будет = . Но так как (0) = 2, то = 2.

Таким образом, функция = 2 является решением задачи Коши (18.24). 2

на всей числовой оси (−∞, +∞).

Р е ш е н и е. Заметим, что если взять 1 = 1, 2 = 1 и 3 = −1, то

1 sin2 + 2 cos2 + 3 · 1 = sin2 + cos2 − 1 = 0

для всех (−∞, +∞). А это значит, что система функций (18.27) линейно зависима на интервале (−∞, +∞). 2

П р и м е р 18.13. Доказать линейную независимость функций

на любом отрезке [ , ].

Р е ш е н и е. Составим линейную комбинацию функций (18.28) с произвольными коэффициентами 0, 1, . . . , , из которых хотя бы один не равен нулю, и рассмотрим равенство:

Это равенство не может выполняться для всех [ , ], поскольку

слева стоит многочлен, который не может иметь бесчисленное множество корней. Следовательно, равенство (18.29) для всех [ , ]

выполняется лишь в случае, когда все числа , = 0, . . . , равны нулю. А это значит, что функции (18.28) линейно независимы на отрезке

[ , ]. 2

Т е о р е м а 18.1. Если 1, . . . , — различные числа, то функции

линейно независимы на любом отрезке [ , ].

П р и м е р 18.14. Доказать, что если — действительное число, а> 1 — натуральное число, то функции

, , . . . , −1 (18.31)

линейно независимы на любом отрезке [ , ].

290Глава 18. Дифференциальные уравнения

Ре ш е н и е. Составим линейную комбинацию данных функций с произвольными коэффициентами 1, . . . , :

1 + 2 + . . . + −1 = ( 1 + 2 + . . . + −1).

Так как ̸= 0, а выражение в скобках является многочленом, то

1 + 2 + . . . + −1 ≡ 0

тогда и только тогда, когда 1 = . . . = = 0. А это значит, что функции (18.31) линейно независимы на любом отрезке [ , ]. 2

Исследовать на линейную зависимость следующие системы функций.

18.75. 1, sin , cos 2 .

2 . Линейные однородные дифференциальные уравнения

-го порядка. Дифференциальное уравнение вида

однородным дифференциальным уравнением -го порядка с постоян-