П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

Предполагая, что между и существует линейная зависимость = + , определить методом наименьших квадратов параметры и . Изобразить на графике эмпирические значения и прямую.

17.124. Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу = + для функции, заданной следующей

таблицей:

Изобразить на графике эмпирические значения и прямую.

17.125. Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу = + для функции, заданной следующей

таблицей:

Изобразить на графике эмпирические значения и прямую. По формуле = + вычислить значение переменной при

= 0, 1.

17.126. Эксплуатационные расходы на содержание автоматической телефонной станции (АТС) приведены в таблице:

Г л а в а 18

Дифференциальные уравнения

§ 18.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1 . Основные понятия. Дифференциальным уравнением назы-

вается уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.

Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Так как в дальнейшем рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения, то договоримся опускать слово «обыкновенное».

Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем виде записывается так:

Решением (частным решением ) дифференциального уравнения (18.1) или (18.2) называется функция = ( ), обращающая это

уравнение в тождество относительно ( , ). Уравнение Φ( , ) = 0,

определяющее это решение как неявную функцию, называется интегралом дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения принято называть интегральной кривой этого

274 Глава 18. Дифференциальные уравнения

уравнения. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

П р и м е р 18.1. Проверить подстановкой, что функция = 2 является решением дифференциального уравнения ′ − 2 = 0.

Р е ш е н и е. Подставив функции = 2 и ′ = 2 2 в данное урав- нение, получим: ′ − 2 = 2 2 − 2 2 = 0. Это значит, что функция= 2 является решением уравнения ′ − 2 = 0. 2

2 . Задача Коши. Интегрирование дифференциального урав-

нения в общем случае приводит к бесконечному множеству решений. Чтобы из этого множества выделить вполне конкретное решение, следует накладывать на это решение дополнительное условие, скажем, потребовать, чтобы интегральная кривая прошла через заданную точку 0( 0, 0).

Обобщая сказанное, приходим к следующей задаче Коши для дифференциального уравнения первого порядка: решить дифференциальное уравнение

творяющая следующим условиям:

1)при любом допустимом функция = ( , ) является решением уравнения (18.3),

2)какова бы ни была задача Коши

существует постоянная = 0 такая, что функция = ( , 0) является решением этой задачи Коши. Другими словами, уравнение

имеет хотя бы одно решение = 0.

Если общее решение дифференциального уравнения (18.3) найдено в неявном виде Φ( , , ) = 0, то такое решение называется общим

интегралом.

П р и м е р 18.2. Показать, что функция = является решением дифференциального уравнения ′ · − = 0. Найти частное

= является решением дифференциального уравнения ′ · − = 0:′ · − = ( )′ − = − = 0. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию (2) = 2: (2) = · 2 = 2, откуда находим: = 1. Итак, искомое частное решение — = . 2

Показать, что данные функции являются решениями соответствующих уравнений.

Показать, что данные функции являются решениями соответствующих уравнений и найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

§18.2. Дифференциальные уравнения

сразделяющимися переменными

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, заданное в виде

только от переменной : ( , ) = ( ), а ( , ) = ( ), то получен-

Р е ш е н и е. Преобразуем левую часть исходного уравнения:

2 ( + 1) + 2 (1 − ) = 0.

Предположим, что ̸= 0. Разделив обе части последнего уравнения на 2 2, придем к уравнению с разделенными переменными:

Проинтегрировав это уравнение, получим общий интеграл в виде

ln | | − 1 − 1 − ln | | =

Теперь отдельно рассмотрим случай = 0. Непосредственной проверкой можно убедиться, что = 0 и = 0 также являются ре-

шениями данного дифференциального уравнения, однако они не получаются из общего интеграла ни при каком значении . 2

Решить дифференциальные уравнения.

18.7.(1 + 3 ) ′ ln = 3 .

18.8.′ ctg + = 2.

18.9.(1 + 2) − (1 + 2) = 0.

18.10.( + ) + ( − ) = 0.

18.11.( − ) + ( + − − 1) = 0.

Введем новую переменную = . Тогда = , = + .

Подставив и в исходное уравнение, получим

Заметим, что = 0 является решением полученного уравнения и, следовательно, = 0 будет решением исходного уравнения.

Предположим, что ̸= 0. Разделив переменные в последнем урав-

Решить дифференциальные уравнения.

18.30.( 2 − 2) = 2 .

18.31.( + 2 + 1) − (2 + − 1) = 0.

18.32.(2 + 2 − 1) + ( + + 1) = 0.